Skript

3. Sei m j = 1, ω = 1, C k = (A k A t k
) ∈ R. Dann wird zum Update nur
eine Zeile der Matrix genutzt, und der Update wird so gewählt, dass die
zugehörige Gleichung gelöst wird. Aus dieser Beschreibung wird schon
klar, dass es sich um eine Variante des Einzelschrittverfahrens (Gauss–
Seidel–Verfahren) handeln muss. Für ω ≠ 1 erhält man das SOR–Verfahren,
und tatsächlich kann man auch umgekehrt Kaczmarz als einen
Spezialfall des SOR–Verfahrens ansehen (Björck und Elfving, ([1])).
Die Konvergenz scheint auf den ersten Blick an einer geschickten Wahl von
C j zu liegen. Daher ist das folgende allgemeine Konvergenzergebnis vielleicht
überraschend.
Satz 5.6.2. Im Kaczmarzverfahren für die Systeme R j f = g j , R j : X ↦→ Y j ,
j = 0 . . . p − 1, gelte (C j x, x) ≥ (R j R t j x, x) ∀x, f 0 = 0 und 0 < ω < 2. Das
System sei lösbar, und jede Gleichung werde unendlich oft benutzt.
Dann konvergiert das Kaczmarzverfahren gegen die Minimum–Norm–Lösung
von
Rf = g, R : X ↦→ Y 0 × Y 1 × . . . Y p−1 , (Rf) j = (R j )f, (g) j = g j .
Wir haben die Notation leicht verändert, um sie im nächsten Abschnitt direkt
auf die CT anwenden zu können. Wir werden im Radonfall R j als Projektionsmatrix
zu einem festen Winkel θ wählen, wovon wir bei der Parallelgeometrie
gerade p haben.
Der Satz sagt also: Teilt man das große Gleichungssystem in viele kleine auf
und führt das Kaczmarz–Verfahren durch, so konvergiert es gegen die Minimum–
Norm–Lösung, falls C j nicht zu klein gewählt wurde. Auf die Annahme der Lösbarkeit
kann man verzichten, wir zeigen hier nur die einfache Version.
Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass, nachdem alle Gleichungen benutzt
wurden, wieder von vorn angefangen wird, also j k = k mod p. Eine solche
Gruppe von Wiederholungen nennen wir einen Sweep. Wir bezeichnen mit
f j k
die Iterierte (kp + j) des Kaczmarzverfahrens, also die Iterierte vor Anwendung
der Gleichung j im k. Sweep. Weiter setzen wir f k = fk 0 , das sind die
Iterierten nach jeweils einem kompletten Sweep, also nachdem alle Gleichungen
k–mal angewendet wurden. Wir zeigen, dass die f k konvergieren.
Beweis: Sei f + = R + g, also Rf + = g und f + ∈ Ker(R) ⊥ . Sei
Q j := (I − ωR t jC −1
j
R j )
und
Dann gilt
Q = Q p−1 · · · Q 0 .
f j+1
k
− f + = f j k + ωRt jC −1
j
( g j
}{{}
=R j f + −R j f j ) − f + = Q j (f j k − f + )
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