Skript

jetzt gar nicht mehr durchführbar ist, denn um überhaupt einmal zur nächsten
Iterierten zu kommen, muss die komplette Matrix zweimal angewandt werden.
Kaczmarz lieferte hierzu eine interessante Idee: Wir teilen unser Problem Ax =
b auf in Teilprobleme A j x = b j , j = 1 . . . N, wobei jedes A j einen Teil der
Gleichungen enthält. Diese Aufteilung drängt sich in inversen Problemen häufig
ohnehin auf, etwa, indem man die Messdaten zu einer Detektorposition im
CT oder zu einer Einfallsrichtung im Ultraschall zusammenfasst.
In jeder Iteration benutzen wir nun nur die Messdaten für ein j zur Inversion,
lösen also im k. Iterationsschritt nur die Gleichung
A jk x k = b jk .
Der Einfachheit halber schreiben wir in Zukunft gleich k für j k .
Dies ist im Allgemeinen ein unterbestimmtes System, wir müssen also die Moore–
Penrose–Lösung ansetzen, und wir wollen ein iteratives Verfahren definieren,
das auf x k aufbaut. Wir setzen also x k = x k−1 + d k . Wegen
b k = A k x k = A k (x k−1 + d k )
wählen wir d k als Moore–Penrose–Lösung. Zusammen mit einem Iterationsparameter
ω erhalten wir also die Iterationsvorschrift
x k = x k−1 + ωA t k (A kA t k )−1 (b k − A k x k−1 ).
Zur exakten Durchführung muss also in jedem Schritt eine Matrix, wenn auch
kleinerer Ordnung, invertiert werden. Aus diesem Grund ersetzt man noch A k A t k
durch eine einfach zu invertierende Matrix C k . Damit ist alles komplett. Wir geben
die Version für Matrizen, natürlich lässt sich eine entsprechende Version
für lineare Operatoren zwischen vollständigen Vektorräumen definieren.
Definition 5.6.1. (Kacmarz–Verfahren) Zu lösen sei das System von Gleichungssystemen
A j x = b j , j = 1 . . . N, A j ∈ R m j×n , b j ∈ R m j
. Die Folge der A k und
b k werde für k > N durch dieselben Matrizen und Vektoren fortgesetzt (also
A k = A jk und b k = b jk mit j k ≤ N). Sei weiter ω fest und C k ∈ R m k×m k
positiv definit. Dann heißt die Folge
x k = x k−1 + ωA t k C−1 k (b k − A k x k−1 )
Kaczmarz–Verfahren zur Lösung des Systems.
Wir betrachten zur Illustration drei einfache Beispiele.
1. Sei N = 1 und C k = I. Dann ist das Kaczmarz–Verfahren das Landweber–
Verfahren.
2. Sei N = 1, ω = 1 und C k = (AA t ). Dann konvergiert das Verfahren in
einem Schritt und es ist x 1 die Moore–Penrose–Lösung.
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