Skript

Satz 5.5.2. Gesucht sei die Lösung von A ∗ Af = A ∗ g. Dann gilt für ungestörte
Daten und die 2–Norm
||f − f m || ≤ c min { σ 2 m+1||R m g||, m −2 ||A ∗ g|| }
wobei R m g die Projektion von g auf den von den Singulärvektoren v k , k > m,
aufgespannten Unterraum ist.
Sei die Lösung von Af = g nun schlecht gestellt von der Ordnung α, d.h.
σ k ∼ k −α , so ist für mäßig schlecht gestellte Operatoren (α < 1, etwa die
Radontransformation) die Konvergenz von der Ordnung m −2 , für stark schlecht
gestellt Operatoren sogar von der Ordnung m −2α .
Der Satz sagt insbesondere, dass CG mit N Iterationen exakt ist für die ersten
N Singulärvektoren, und liefert damit etwas sehr ähnliches wie die abgeschnittene
Sigulärwertzerlegung, ohne dass diese extra berechnet werden müsste.
Die einfache Idee ist nun: Gegeben ein Problem Af = g. Wähle a priori eine
Abbruchbedingung basierend auf g und A, d.h. wir stoppen nach N Schritten
und wählen f N als Approximation für f. Dies wird nicht funktionieren, denn
nach unseren Erfahrungen wird man das Abbruchkriterium in Abhängigkeit von
der Güte der Daten ɛ wählen müssen. Wir erwarten, dass es eine gute Idee ist,
die Abbruchbedingung so zu wählen, dass für das verbleibende Residuum r N
mit dem Diskrepanzprinzip gilt
||r n || ∼ ɛ
und tatsächlich liefert diese Wahl eine Regularisierung des Problems.
Unser Vorgehen zeigt nochmals deutlich, wie bei der Untersuchung numerischer
Methoden auf ihre Tauglichkeit für inverse Probleme vorgegangen werden
muss. Die Lösung besteht aus gut bestimmten Teilen (in Singulärvektoren
zu großen Singulärwerten) und schlecht bestimmten Teilen (in Singulärvektoren
zu kleinen Singulärwerten). Ein gutes iteratives numerisches Verfahren wird
im Laufe der Iteration die guten Anteile zuerst bestimmen und die schlechten
Anteile spät. Bricht man nun die Iteration vorzeitig ab (early stopping, etwa mit
dem Diskrepanzprinzip), so enthalten die Iterierten nur die gut bestimmten Anteile.
5.6 Kaczmarz–Methoden
Das Kaczmarz–Verfahren ist eng mit dem Landweber–Verfahren verwandt. Ein
Problem des Landweber–Verfahrens ist, dass es umso komplexer wird, einen
einzelnen Iterationsschritt auszuführen, je größer die Matrix ist. Beispiel: Ein
Problem Af = g ist heftig überbestimmt. Nun wird die Anzahl der Messungen
noch einmal verdoppelt (worüber wir uns im Sinne der schlecht gestellten
Probleme freuen sollten, weil es den durchschnittlichen Datenfehler reduziert).
Aber: Durch die Vergrößerung der Matrix kann es passieren, dass das Verfahren
86