Skript

und die V k (Q, r 0 ) heißen Krylovräume. Offensichtlich gilt wegen der Definition
der x k
x k+1 − x 0 = P (Q)r 0 ∈ V k (Q, r 0 ), P ∈ P k . (5.11)
Es liegen also alle Iterierten im Unterraum x 0 + V k . Verfahren mit dieser Eigenschaft
heißen Krylovraum–Verfahren.
Es stellt sich heraus, dass die Konvergenz für den Gradientenabstieg recht
langsam ist. Wir wählen daher x k optimal im Unterraum x 0 + V k , also als
x k = arg
min
x∈x 0 +V k (Q,r 0 )
Dies führt zum Verfahren der konjugierten Gradienten
d 0 = −r 0
α k = (d k, r k )
(d k , Qd k )
x k+1 = x k + α k d k
r k+1 = Qx k+1 − b = r k + α k Qd k
β k = (r k+1, Qd k )
(d k , Qd k )
d k+1 = −r k+1 + β k d k
J(x). (5.12)
Bemerkung: Dies ist einfach nur das normale Gradientenverfahren mit einer
kleinen Modifikation, im letzten Schritt wird die Abstiegsrichtung d k+1 = −r k+1
zu d k orthogonalisiert bzgl. des Skalarprodukts (x, y) = (x, Qy). Offensichtlich
ist CG ein Krylovraumverfahren. Pro Schritt des Verfahrens wird eine Anwendung
von Q auf einen Vektor benötigt.
Mit der Optimalitätseigenschaft (5.12) folgt wegen V n = R n die Konvergenz
des Verfahrens, nach n Schritten ist das Verfahren beendet und liefert die korrekte
Lösung. Natürlich wird man nie bis zu diesem Punkt iterieren, ansonsten
könnte man billiger gleich die komplette Inverse ausrechnen.
5.5.2 CG für schlecht gestellte Probleme
Die Diskretisierung von linearen schlecht gestellte Problemen der Form Af = g
ist im Allgemeinen über– oder unterbestimmt und selten positiv definit. Wir
betrachten daher das CG–Verfahren immer für Q = A ∗ A und b = A ∗ g. Der
Einfachheit halber wählen wir immer den Startwert x 0 = 0.
Wegen (5.11) gilt dann also
x k+1 = −P k (A ∗ A)A ∗ b
für ein P k ∈ P k .
Eingesetzt in (5.12) und mit Hilfe der Singulärwertzerlegung zeigt Louis ([12])
den Satz (S. 123, nach Korrektur der Schreibfehler dort) und ν = 2:
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