Skript

5.5 Konjugierte Gradienten (Frank)
Wir wollen nun eins der am häufigsten genutzten iterativen Verfahren auf seine
Eigenschaften im Sinne der schlecht gestellten Probleme untersuchen. Die
Grundeigensnschaften werden in den Anfängervorlesungen ([19]) behandelt.
Die Beweise zu den allgemeinen Eigenschaften von CG finden sich z.B. bei
Braess ([2]) und Anne Greenbaum ([8]). Die Anwendungen auf inverse Probleme
werden zum Beispiel im klassischen Buch von Louis ([12]) untersucht.
5.5.1 Krylovraumverfahren
Krylovraumverfahren sind iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme mit
positiv definiter Systemmatrix. Die Lösung des Gleichungssystems wird mit
dem folgenden Satz durch die Minimierung eines Funktionals ersetzt.
Satz 5.5.1. Sei Q ∈ R n×n positiv definit, b ∈ R n , und
Dann gilt
J : R n ↦→ R, J(x) = 1 (x, Qx) − (b, x).
2
˜x = arg min J(x) ⇐⇒ Q˜x = b.
x∈Rn Der Satz gilt für allgemeine Hilberträume, zum Beweis setze x = ˜x + λu und
differenziere nach λ. Für n = 1:
Beweis:
˜x Minimum von J ⇐⇒ J ′ (˜x) = 0(Q > 0) ⇐⇒ Q˜x = b.
□
Zur Lösung des Gleichungssystems stehen damit die klassischen Minimierungsverfahren
zur Verfügung. Als erstes einfallen würde das Verfahren des steilsten
Abstiegs, das wegen
wird zu
∇J(x k ) = Qx k − b =: r k
x k+1 = x k − α k r k
wobei das α k optimal gewählt wird, so dass J(x k+1 ) minimiert wird.
Wegen
r k = Qx k −b = Q(x k−1 +α k r k−1 )−b = α k Qr k−1 +(Qx k−1 −b) = α k Qr k−1 +r k−1
gilt
}
r k ∈ V k (Q, r 0 ), V k (Q, r 0 ) =
{r 0 , Qr 0 , Q 2 r 0 . . . Q k r 0 = {P (Q)r 0 , P ∈ P k }
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