Skript

Nichtlineare Probleme
Wir diskutieren nun die Erweiterung der Landweber-Iteration auf nichtlineare
Probleme der Form
F (x) = y.
Motivation ist die Beobachtung dass die Landweber-Iteration im nichtlinearen
Fall gerade die Gradienten-Abstiegsmethode für das zugehörige kleinste-
Quadrate Funktional 1 2 ‖T x−y‖2 ist. Im Fall eines nichtlinearen Problems F (x) =
y betrachten wir daher das Funktional
Seine Ableitung ist gegeben durch
J(x) := 1 2 ‖F (x) − yδ ‖ 2 .
J ′ (x) = F ′ (x) ∗ (F (x) − y)
und wir erhalten damit die nichtlineare Landweber-Iteration:
x k+1
δ
= x k δ − τF ′ (x k δ )∗ (F (x k δ ) − y). (5.3)
Im nichtlineare Fall ist die Wahl des Anfangswertes von besonderer Bedeutung
denn x 0 spielt die selbe Rolle wie die a-priori Information x ∗ bei der Tikhonov-
Regularisierung und kann (im Fall von mehreren Lösungen) festlegen, gegen
welche Lösung der Algorithmus konvergiert. Wir betrachten nun den Fehler genauer
(für eine detailierte Analyse des Algorithmus siehe [4]), ähnlich zum linearen
Fall gilt:
‖x δ k+1 − x† ‖ 2 − ‖x δ k − x† ‖ 2
= τ 2 ‖F ′ (x δ k ) ∗(F (x δ k ) − yδ )‖ 2 − 2τ〈x δ k − x† , F ′ (x δ k ) ∗(F (x δ k ) − yδ )〉
≤ τ 2 ‖F ′ (x δ k )‖ 2(F (x δ k ) − yδ ) 2 − 2τ〈F (x δ k ) − y, F (xδ k ) − yδ 〉
+2τ〈F (x δ k ) + F ′ (x δ k )(xδ k − x† ) − F (x † ), F (x δ k ) − yδ 〉
Die ersten beiden Terme sind analog zum linearen Fall während der dritte, zusätzliche
Term die nichtlinearität des Problems wiederspiegelt. Da F (x k δ ) +
F ′ (x k δ )(xk δ − x† ) − F (x † ) eine erste Ordnung Taylorentwicklung ist erwartet
man (zumindest lokal um die Lösung) eine Abschätzung der Art
‖F (x k δ ) + F ′ (x k δ )(xk δ − x† ) − F (x † )‖ ≤ c‖x k δ − x† ‖ 2 .
Wie wir bereits früher gesehen haben kann der Fehler ‖x k δ − x† ‖ 2 viel größer
sein als ‖F (x k δ ) − F (x† )‖ und damit wird uns eine solche Abschätzung nicht
helfen um zu zeigen dass der Fehler in jeder Iteration kleiner wird. Für die Konvergenzanalyse
zeigt sich, dass eine Bedingung der Form
‖F (x k δ ) + F ′ (x k δ )(xk δ − x† ) − F (x † )‖ ≤ c‖F (x k δ ) − F (x† )‖ (5.4)
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