Skript

Für k > 1 kann der Betrag des ersten Term abgeschätzt werden durch
(
1 − (1 − τσn) 2 k−1) 1
∑k−2
|〈y δ −y, v n 〉| = τσ n (1−τσ
σ
n) 2 j |〈y δ −y, v n 〉| ≤ τσ n kδ.
n
Betrachten wir nun den Fehler zwischen der exakten und der regularisierten
Lösung genauer. Ihr Komponenten in der Singulärwertzerlegung können mit
den gleichen Methoden wie oben abgeschätzt werden als
|〈x k∗(δ)
δ
j=0
− x † , u n 〉| ≤ τσ n k ∗ δ + (1 − τσ 2 n) k−1 ‖x † ‖.
Wählen wir also, für δ → 0, denn Stop-Index so dass k ∗ (δ) → ∞ und k ∗ (δ)δ →
0, dann konvergieren alle Komponenten gegen Null und damit, x k∗(δ)
δ
→ x † ,
d.h. die Landweber-Iteration ist eine konvergenze Regularisierungsmethode.
Für solche iterativen Methoden ist es sehr einfach a-posteriori Stop-Regeln wie
das Diskrepanzprinzip zu benutzen:
k ∗ (δ, y δ ) := inf{k ∈ N | ‖T x δ k − yδ ‖ < ηδ},
2
mit η ≥
2−τ‖T ‖. Grob bedeutet dies, dass wir die Iteration stoppen, sobald der
Fehler zum ersten mal kleiner oder gleich dem Rauschen ist. Um diese Regel zu
implementieren muss man also nur T x δ k − yδ (das ohnehin in jeder Iteration
berechnet wird) auswerten und mit dem Rauschlevel vergleichen. Um dieses
Diskrepanzprinzip besser zu verstehen betrachten wir wieder den Fehler:
‖x δ k+1 − x† ‖ 2 − ‖x δ k − x† ‖ 2 = τ 2 ‖T ∗ (T x δ k − yδ )‖ 2 − 2τ(x δ k − x† , T ∗ (T x δ k − yδ ))
= τ 2 ‖T ∗ (T x δ k − yδ )‖ 2 − 2τ〈T x δ k − y, T xδ k − yδ 〉
≤ τ 2 ‖T ‖‖T x k δ − yδ ‖ 2 − 2τ‖T x k δ − yδ ‖ 2 − 2τ〈y δ − y, T x k δ − yδ 〉
(
)
≤ −τ‖T x k δ − yδ ‖ (2 − τ‖T ‖)‖T x k δ − yδ ‖ − 2δ
≤ − τ (
)
η ‖T xk δ − yδ ‖ ‖T x k δ − yδ ‖ − ηδ .
So lange k < k ∗ können wir die Negativität der rechten Seite garantieren und
damit
‖x k+1
δ
− x † ‖ 2 ≤ ‖x k δ − x† ‖ 2 ,
d.h. der Fehler verringert sich mindestens bis der Stop-Index erreicht ist.
Man kann weiterhin zeigen (cf. [4]) dass auch das Diskrepanzprinzip eine konvergente
Regularisierungsmethode liefert. Falls x † zusätlich noch eine Quellbedingung
der Art x † = T ∗ p für p ∈ Y erfüllt gilt sogar
‖x k∗
δ
− x † ‖ = O( √ δ),
also ein Resultat analog zu den stetigen Regularisierungsmethoden aus Kapitel
3.
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