Skript
Skript Skript
folgenden Funktionals: f ɛ := argmin J (f) = 1 2 ‖f − (f δ n)‖ L 2 ((0,1)) + ɛ 2 ‖f ′ ‖ L 2 ((0,1)). Wir suchen also eine Funktion f ɛ , die nahe bei den Daten ist und zusätzlich eine “vernünftige” (hier eine mindestens beschränkte L 2 -Norm) Ableitung besitzt. Die notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für ein Minimum dieses Funktionals lauten 0 = d dκ J (f + κg) ∣ ∣∣∣κ=0 = ∫ 1 0 (f ɛ − f δ )g + f ′ g ′ ) dx Dies ist nicht anderes als die schwache Formulierung der (elliptischen) partiellen Differentialgleichung −ɛ(f ɛ ) ′′ + f ɛ = f δ . (1.4) Uns interessiert der Fehler in der Ableitung u = f ɛ − f. Einsetzen in (1.4) ergibt −ɛu ′′ + u = f δ − f + ɛf ′′ . Multiplizieren wir die Gleichung mit u und integrieren erhalten wir ɛ ∫ 1 0 ∫ 1 (u ′ ) 2 dx + 0 u 2 dx = ∫ 1 0 (f δ − f + ɛf ′′ )u dx. Mit Hilfe der Hölder-Ungleichung folgt (da der erste Term auf der linken Seite positiv ist) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎝ ∫ 1 0 u 2 dx⎠ 1/2 ≤ ⎝ ∫ 1 0 (f δ − f + ɛf ′′ ) dx⎠ Wieder mit der Hölder-Ungleichung folgern wir daher ɛ ∫ 1 0 (u ′ ) 2 dx ≤ ‖(f δ − f + ɛf ′′ )‖ L 2 ((0,1)) ≤ ‖f δ − f‖ L 2 ((0,1)) + ‖ɛf ′′ ‖ L 2 ((0,1)) ≤ δ 2 + ɛ 2 M, mit M := ‖f‖ C 2 ([0,1]) 1/2 Teilen wir durch ɛ und wählen ɛ = ɛ(δ) = δ M so erhalten wir schließlich ‖u ′ ‖ 2 L 2 ((0,1)) ≤ Cδ und damit ‖f ′ ɛ − f‖ L 2 ((0,1)) = O( √ δ) → 0 as δ → 0. 7
Bemerkung 1.2.1. 1. Die obige Rechnung funktioniert nur, wenn wir annehmen, dass die ungestörten Daten f zweimal stetig differenzierbar sind. Dies ist natürlich im Allgemeinen nicht klar. 2. Um die Konvergenz für δ → 0 zu erreichen, mussten wir den Parameter ɛ in Abhängigkeit von δ wählen. Wir werden später zeigen das dies essenziell ist. 1.3 Beispiel: Inverse Wärmeleitungsgleichung Wir betrachten die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung u t = u xx , x ∈ R, t ∈ R + . Das direkte Problem ist wie folgt definiert (vgl. [5, 3]): DP: Es sei u 0 ∈ C(R) ∩ L ∞ (R) gegeben, so das u(x, 0) = u 0 (x). Bestimme u(x, t) für alle x ∈ R, t > 0. In einer Ortsdimension können wir das Problem explizit durch Seperation der Variablen lösen. Mit dem Ansatz u(x, t) = u 1 (x)u 2 (t) ergibt sich u 1 (x)u ′ 2(t) = u ′′ 1(x)u 2 (t) also u ′′ 1 (x) u 1 (x) = u′ 2 (t) u 2 (t) = const =: −k2 . Es ergeben sich daher Lösungen der Form u(x, t) = e −k2t (c 1 sin(kx) + c 2 cos(kx)). Lösungen der Wärmeleitungsgleichung haben also glättende Eigenschaften, insbesondere für hohe Frequenzen k, und wir erwarten daher für das inverse Problem definiert als IP: Geben sei u T (x) für ein festes T ∈ R, so das u(x, T ) = u T (x). Bestimme u(x, t) für alle x ∈ R, t < T . die gleichen Schwierigkeiten wie in Beispiel 1.2. Um das inverse Problem zu lösen, müssen wir also die Wärmeleitungsgleichung rückwärts in der Zeit betrachten. Es ergibt sich u(x, t) = e +k2 (T −t) (c 1 sin(kx) + c 2 cos(kx)). Durch den Faktor e +k2 (T −t) werden Störungen mit hoher Frequenz verstärkt, es gilt insbesondere ‖u‖ L ∞ (R×(0,T )) → ∞ as k → ∞, d.h. der inverse Operator ist unbeschränkt und daher unstetig. 8
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folgenden Funktionals:<br />
f ɛ := argmin J (f) = 1 2 ‖f − (f δ n)‖ L 2 ((0,1)) + ɛ 2 ‖f ′ ‖ L 2 ((0,1)).<br />
Wir suchen also eine Funktion f ɛ , die nahe bei den Daten ist und zusätzlich<br />
eine “vernünftige” (hier eine mindestens beschränkte L 2 -Norm) Ableitung besitzt.<br />
Die notwendigen Optimalitätsbedingungen erster Ordnung für ein Minimum<br />
dieses Funktionals lauten<br />
0 = d<br />
dκ J (f + κg) ∣<br />
∣∣∣κ=0<br />
=<br />
∫ 1<br />
0<br />
(f ɛ − f δ )g + f ′ g ′ ) dx<br />
Dies ist nicht anderes als die schwache Formulierung der (elliptischen) partiellen<br />
Differentialgleichung<br />
−ɛ(f ɛ ) ′′ + f ɛ = f δ . (1.4)<br />
Uns interessiert der Fehler in der Ableitung u = f ɛ − f. Einsetzen in (1.4) ergibt<br />
−ɛu ′′ + u = f δ − f + ɛf ′′ .<br />
Multiplizieren wir die Gleichung mit u und integrieren erhalten wir<br />
ɛ<br />
∫ 1<br />
0<br />
∫ 1<br />
(u ′ ) 2 dx +<br />
0<br />
u 2 dx =<br />
∫ 1<br />
0<br />
(f δ − f + ɛf ′′ )u dx.<br />
Mit Hilfe der Hölder-Ungleichung folgt (da der erste Term auf der linken Seite<br />
positiv ist)<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
⎝<br />
∫ 1<br />
0<br />
u 2 dx⎠<br />
1/2<br />
≤ ⎝<br />
∫ 1<br />
0<br />
(f δ − f + ɛf ′′ ) dx⎠<br />
Wieder mit der Hölder-Ungleichung folgern wir daher<br />
ɛ<br />
∫ 1<br />
0<br />
(u ′ ) 2 dx ≤ ‖(f δ − f + ɛf ′′ )‖ L 2 ((0,1))<br />
≤ ‖f δ − f‖ L 2 ((0,1)) + ‖ɛf ′′ ‖ L 2 ((0,1)) ≤ δ 2 + ɛ 2 M, mit M := ‖f‖ C 2 ([0,1])<br />
1/2<br />
Teilen wir durch ɛ und wählen ɛ = ɛ(δ) = δ M<br />
so erhalten wir schließlich<br />
‖u ′ ‖ 2 L 2 ((0,1)) ≤ Cδ<br />
und damit<br />
‖f ′ ɛ − f‖ L 2 ((0,1)) = O( √ δ) → 0 as δ → 0.<br />
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