Skript

Primal
Adjungiert
messungen
unbekannt
Residuum
update
Abbildung 5.1: Das inverse head conduction Problem
Verrauschte Daten
Wir betrachten nun den Fall von verrauschten Daten, d.h. wir haben y δ mit
‖y − y δ ‖ ≤ δ.
Um die Abhängigkeit vom Rauschen zu verdeutlichen schreiben wir im folgenden
x δ k . x δ k+1 = xδ k − τT ∗ (T x δ k − yδ ) = (I − τT ∗ T )x δ k + τT ∗ y δ . (5.2)
Da in dieser iteration nur die (stetigen) Operatoren T und T ∗ angewandt werden
müssen ist diese Methode wohldefiniert für beliebige k, insbesonder auch
für k → ∞. Da wir jedoch α = 1 k
als Regularisierungsparameter interpretiert
haben und daher α immer positiv sein muss folgern wir dass für verrauschte
Daten die Iteration nach endlich vielen Schritten abgebrochen werden sollte.
Insbesondere sollte die Anzahl der Iterationen k ∗ von den verrauschten Daten
und dem Rauschlevel δ anhängen, also k ∗ = k ∗ (δ, y δ ).
Wir benutzen wieder die Singulärwertzerlegung und schreiben den Fehler als
(
〈x k δ − x† , u n 〉 = 1 − (1 − τσn) 2 k−1) 1
〈y δ , v n 〉 − 1 〈y, v n 〉
σ n σ n
(
= 1 − (1 − τσn) 2 k−1) 1
〈y δ − y, v n 〉 + (1 − τσ
σ
n) 2 k−1 1 〈y, v n 〉.
n σ n
Da der zweite Term in der Summe exponentiel gegen Null konvergiert für k →
∞ folgt
(1 − τσ 2 n) k−1 1
σ n
〈y, v n 〉 = (1 − τσ 2 n) k−1 〈x † , v n 〉.
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