Skript

Interpretation als Regularisierungsmethode
Wenn wir α := 1 k
als Regularisierungsparameter interpretieren gilt
(
g α (σ) = 1 − (1 − τσ 2 ) 1/(α−1)) 1
σ .
Für τσ 2 < 2 konvergiert g α (σ) offensichtlich zu 1/σ für α = 1 k
→ 0. Mit den
Satz 3.1.1 aus Kapitel 3 schließen wir daher, dass x k → x † für k → ∞. Ebenfalls
analog zu Kapitel 3 kann die Konvergenz jedoch beliebig langsam sein
wenn die Daten nicht zusätzliche Glattheitsbedingungen erfüllen.
Bemerkung 5.1.3. Under der obigen Bedinung an τ können wir zeigen, dass
das kleinste-Quadrate Funktional kleiner wird, wenn es gilt
‖T x k+1 − y‖ 2 = ‖T x k − y − τT T ∗ (T x k − y)‖ 2
Konvergenzraten
= ‖T x k − y‖ 2 + τ 2 ‖T T ∗ (T x k − y)‖ 2 − 2τ〈T x k − y, T T ∗ (T x k − y)〉
= ‖T x k − y‖ 2 + τ ( τ‖T T ∗ (T x k − y)‖ 2 − ‖T ∗ (T x k − y)‖ 2)
≤ ‖T x k − y‖ 2 + τ‖T ∗ (T x k − y)‖ 2 ( τ‖T ‖ 2 − 2 )
≤ ‖T x k − y‖ 2 .
} {{ }
≤0
Um ein Konvergenzrate zu erhalten, nehmen wir an, dass die folgende Quellbedingung
erfüllt ist:
x † = T ∗ p for p ∈ Y.
Dann gilt für die Singulärwerte im Singulärsystem (σ n , u n , v n ):
(x k −x † , u n ) =
(
1 − (1 − τσ 2 n) k−1) 1
σ n
(y, v n )−(x † , u n ) = −σ n (1−τσ 2 n) k−1 (p, v n ).
Die positive Funktion
√
r(σ) := σ(1 − τσ 2 ) k−1 hat ein eindeutiges Maximum in
2
dem Interval (0,
τ ) an der Stelle σ = √ 1
und daher
τ(2k−1)
|(x k − x † , u n )| ≤ r(σ)‖p‖ ≤
1
√
τ(2k − 1)
‖p‖.
Damit gilt für den Fehler
( ) 1
‖x k − x † ‖ = O √k .
Beispiel: Seitwärts Wärmeleitungsgleichung
Wir betrachten als Beispiel das sogenannt Inverse Heat Conduction Problem
(IHCP):
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