Skript

die sogenannte Landweber iteration. Für lineare Gleichungen ist die Standardwahl
des Startwertes x 0 = 0.
Bemerkung 5.1.1. Die Landweber iteration ist äquivalent zu der Gradientenmethode
für das kleinste Quadrate-Problem
die definiert ist durch
J(x) := 1 2 ‖T x − y‖2 → min
x∈X ,
x k+1 := x k − τJ ′ (x) = x k − τT ∗ (T x k − y)
und mit Hilfe der bekannten Resultate über Gradientenmethoden folgt, dass
das kleinste Quadrate-Funktional während der iteration kleiner wird, falls τ
klein genug gewählt ist.
Wir zeigen zunächst, dass für y ∈ D(T † ) die Landweber Methode tatsächlich
konvergiert:
Theorem 5.1.2 (Konvergenz der Landweber-Methode). Sei y ∈ D(T † ) und 0 <
τ < 2
‖T ‖ 2 , dann gilt
x k → T † y, wenn k → ∞.
Fall y /∈ D(T † ) gilt ‖x k ‖ → ∞ wenn k → ∞.
Beweis. Mit Hilfe der Singulärwertzerlegung mit Singulärsystem (σ n , u n , v n )
erhalten wir folgende äquivalente Darstellung von (5.1):
∞∑
∞∑
(x k+1 , u n )u n = (1 − τσn)(x 2 k , u n )u n + τσ n (y, v n )u n .
n=1
n=1
Aus der linearen Unabhängigkeit der Basisvektoren folgt
(x k+1 , u n ) = (1 − τσ 2 n)(x k , u n ) + τσ n (y, v n )
für den n-ten koeffizienten. Mit x 0 = 0 und mit Hilfe der Formel für die geometrische
Reiher erhalten wir:
( k∑
1 − (1 − τσ
(x k , u n ) = τσ n (y, v n ) (1 − τσn) 2 k−j 2
=
n ) k−1)
τσ n (y, v n )
=
j=1
(
1 − (1 − τσ 2 n) k−1) 1
σ n
(y, v n ).
τσ 2 n
Falls |1 − τσ 2 n| < 1, dann gilt (1 − τσ 2 n) k−1 → 0 and damit
(x k , u n ) → 1
σ n
〈y, v n 〉 = 〈x † , u n 〉.
Wir benötigen also 0 < τσ 2 n < 2 für alle n um die Konvergenz der Koeffizienten
in der Singulärwertzerlegung zu garantieren. Da σ 1 = max n σ n = ‖T ‖,
bedeutet dies 0 < τ < 2
‖T ‖ 2 .
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