Skript

Kapitel 5
Iterative Methoden
In den meisten Anwendungen ist das direkte Problem sehr viel besser verstanden
als das zugehörige inverse Problem. In vielen Fällen existen sogar
ausgereifte numerische Codes zum Lösen des direkten Problem. Im Operator-
Framework der vorherigen Kapitel bedeutet dies, dass es Software zur Berechnung
von T x für ein beliebiges Element x ∈ X gibt. Daher ist es natürlich,
die vorhandenen Algorithmen im Rahmen von iterativen Methoden auch zur
Lösung des inversen Problems einzusetzen.
Wir stellen im folgenden einige dieser Methoden, sowohl für lineare als auch
nichtlineare, Operatoren vor. Insbesondere werden wir zeigen, dass viele iterative
Methoden eine inherente Regularisierung besitzen wenn sie nach einer
endlichen Anzahl von Iterationsschritten beendet werden. Mit anderen Worten:
Die Anzahl der iterationsschritte entspricht dem Regularisierungsparameter α
und die Abbruchregel der Parameterwahl.
5.1 Landweber-Methoden
Die meisten iterativen Methoden zur Approximation von T † y basieren auf der
Transformation der Normalengleichung
T ∗ T x = T ∗ y
in eine äquivalente Fixpunktgleichung wie
x = x − T ∗ (T x − y).
Der einfachste iterative Algorithmus wäre
x k+1 = x k − T ∗ (T x k − y),
k ∈ N
Führen wir noch einen Relaxierungsparameter τ ∈ R ein so erhalten wir
x k+1 = x k − τT ∗ (T x k − y) = (I − τT ∗ T )x k + τT ∗ y, k ∈ N (5.1)
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