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2. Berechne für alle x auf dem Rekonstruktionsgitter f(x) = 2π p p−1 ∑ h j (x · θ j ) j=0 wobei h j eine beliebige Interpolationsfunktion ist mit h j (s k ) = h j,k . Für den Interpolationsschritt hat man wieder eine große Auswahl, Beispiele sind Spline, Nearest Neighbor, Lineare Interpolation. Bis auf Nearest Neighbor liefern alle eine vergleichbare Rekonstruktionsqualität, die Auswahl überlassen die Rekonstruktionsprogramme häufig wieder dem Anwender (wie auch Matlab). Wir berechnen wieder den Aufwand. Im ersten Schritt müssen O(Ω 2 ) Werte ausgerechnet werden, jeder benötigt eine Summation der Länge O(Ω), macht insgesamt ein O(Ω 3 ). Nutzen wir zur Berechnung der Faltungen den Faltungssatz und schnelle Fouriertransformationen, so reichen hier sogar O(Ω 2 log Ω). Im zweiten Schritt müssen wir wieder O(Ω 2 ) Werte ausrechnen mit einer Summation der Länge O(Ω), macht wieder insgesamt O(Ω 3 ), die sich aber diesmal leider nicht verringern lassen. Dies ist ärgerlich – tatsächlich wurden aber vor einigen Jahren approximative Algorithmen zur schnellen Rückprojektion entwickelt, so dass man zumindest für approximative Ergebnisse tatsächlich mit O(Ω 2 log Ω) auskommt. Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass die auf dem Fourier–Slice–Theorem basierenden Algorithmen natürlich immer nur O(Ω 2 log Ω) Rechenoperationen benötigen (für die schnellen Fouriertransformationen). Zur Implementation benötigt man die Auswertungen von v Ω an den Stellen v Ω (k/q) = v Ω (kπ/Ω) für die optimale Beziehung q = Ω/π. Hier kann man die Werte häufig besonders einfach angeben. Eingesetzt in die Formel für Ram–Lak etwa ergibt sich ⎧ ⎨ v Ω (lπ/Ω) = Ω 2 /(2π 2 ) ⎩ 1/4 l = 0 0 l ≠ 0 gerade −1/(π 2 l 2 ) l ungerade Diese Werte wurden auch im Original–Paper von Ram/Lak angegeben und dort anders hergeleitet. Dieser Algorithmus ist für die CT am Ende im Grunde wertlos, denn die tatsächlichen Daten sind, wie schon mehrfach erwähnt, keine Daten aus Parallelgeometrien. Tatsächlich lässt sich der Algorithmus aber auf die echten Daten anpassen. Wir schließen damit die Behandlung analytischer Methoden für die Inversion der Radon–Transformation ab. Wir haben gezeigt: Die Inversion ist ein (mild) schlecht gestelltes Problem der Ordnung 1/2. . 73
4.4 Was fehlt? Fanbeam. Interlaced (Übungen). Fourier Reconstruction. 74
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Inverse und schlecht gestellte Prob
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5.4 Konjugierte-Gradienten-Verfahre
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also Stationär: Beispiele: SAR, St
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d.h. die Genauigkeit der Approximat
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Bemerkung 1.2.1. 1. Die obige Rechn
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zeigt, dass neben der Probleme, die
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Wir entwickeln die gesuchte Funktio
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Kapitel 2 Grundlagen Wie wir in den
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• A ist stetig bezüglich L 2 (Ω
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Definition 2.1.3 (kleinste Quadrate
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Bemerkung 2.1.12. karl • A ∗ Ax
Seite 23 und 24: Da A kompakt ist, besitzt (y n ) n
Seite 25 und 26: Theorem 2.2.10. Sei A ∈ L(X, Y )
Seite 27 und 28: Durch Koeffizientenvergleich folgt:
Seite 29 und 30: Kapitel 3 Regularisierungstheorie I
Seite 31 und 32: Beweis. Sei y ∈ D(T † ) beliebi
Seite 33 und 34: und weiterhin gilt. lim δC α(δ)
Seite 35 und 36: Normalengleichungen. Außerdem ist
Seite 37 und 38: Durch die Unstetigkeit an 0 wird di
Seite 39 und 40: Kapitel 4 Inverse Probleme der Inte
Seite 41 und 42: zu θ(ϕ k ) durchgeführt, daher h
Seite 43 und 44: 4.2 Funktionalanalytische Grundlage
Seite 45 und 46: ̂f a (ξ) = (2π) −n/2 ∫ R n =
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Seite 49 und 50: aber f ∉ L 2 (R 2 ). Die Fouriert
Seite 51 und 52: Wir definieren also allgemein die A
Seite 53 und 54: keinen Sinn, den das hintere Integr
Seite 55 und 56: S(C) definiert durch (Rf)(θ, s) =
Seite 57 und 58: = (2π) 1/2 ̂f(ξ) □ Satz 4.2.20
Seite 59 und 60: ist ˜f(x) zumindest schon mal posi
Seite 61 und 62: Theorem 4.2.27. Sei 0 ≤ α < n. D
Seite 63 und 64: Cormack eine alternative Formel her
Seite 65 und 66: Beweis: Sei ohne Einschränkung α
Seite 67 und 68: g k = (2π/h) −n ∫ g(ξ)e i(kh)
Seite 69 und 70: Man kann sich fragen, was die Bandb
Seite 71 und 72: Beweis: Sei w ∈ S(R n ) eine Test
Seite 73: c k = 1 (2π) 1/2 ∫ ||y|| |x| (De
Seite 77 und 78: die sogenannte Landweber iteration.
Seite 79 und 80: Primal Adjungiert messungen unbekan
Seite 81 und 82: Nichtlineare Probleme Wir diskutier
Seite 83 und 84: We finally mention that any suitabl
Seite 85 und 86: 5.5 Konjugierte Gradienten (Frank)
Seite 87 und 88: Satz 5.5.2. Gesucht sei die Lösung
Seite 89 und 90: 3. Sei m j = 1, ω = 1, C k = (A k
Seite 91 und 92: linearisiert. Seien also nun die R
Seite 93 und 94: entsprechend statistisch optimale R
Seite 95 und 96: L(f) heißt Likelihoodfunktion. Man
Seite 97 und 98: und das ist die erweiterte Form der
Seite 99 und 100: Literaturverzeichnis [1] Ȧ. Björc
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