Skript

2. Berechne für alle x auf dem Rekonstruktionsgitter
f(x) = 2π p
p−1
∑
h j (x · θ j )
j=0
wobei h j eine beliebige Interpolationsfunktion ist mit h j (s k ) = h j,k .
Für den Interpolationsschritt hat man wieder eine große Auswahl, Beispiele
sind Spline, Nearest Neighbor, Lineare Interpolation. Bis auf Nearest Neighbor
liefern alle eine vergleichbare Rekonstruktionsqualität, die Auswahl überlassen
die Rekonstruktionsprogramme häufig wieder dem Anwender (wie auch
Matlab).
Wir berechnen wieder den Aufwand. Im ersten Schritt müssen O(Ω 2 ) Werte
ausgerechnet werden, jeder benötigt eine Summation der Länge O(Ω), macht
insgesamt ein O(Ω 3 ). Nutzen wir zur Berechnung der Faltungen den Faltungssatz
und schnelle Fouriertransformationen, so reichen hier sogar O(Ω 2 log Ω).
Im zweiten Schritt müssen wir wieder O(Ω 2 ) Werte ausrechnen mit einer Summation
der Länge O(Ω), macht wieder insgesamt O(Ω 3 ), die sich aber diesmal
leider nicht verringern lassen. Dies ist ärgerlich – tatsächlich wurden aber vor
einigen Jahren approximative Algorithmen zur schnellen Rückprojektion entwickelt,
so dass man zumindest für approximative Ergebnisse tatsächlich mit
O(Ω 2 log Ω) auskommt.
Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass die auf dem Fourier–Slice–Theorem
basierenden Algorithmen natürlich immer nur O(Ω 2 log Ω) Rechenoperationen
benötigen (für die schnellen Fouriertransformationen).
Zur Implementation benötigt man die Auswertungen von v Ω an den Stellen
v Ω (k/q) = v Ω (kπ/Ω) für die optimale Beziehung q = Ω/π. Hier kann man die
Werte häufig besonders einfach angeben. Eingesetzt in die Formel für Ram–Lak
etwa ergibt sich
⎧
⎨
v Ω (lπ/Ω) = Ω 2 /(2π 2 )
⎩
1/4 l = 0
0 l ≠ 0 gerade
−1/(π 2 l 2 ) l ungerade
Diese Werte wurden auch im Original–Paper von Ram/Lak angegeben und dort
anders hergeleitet.
Dieser Algorithmus ist für die CT am Ende im Grunde wertlos, denn die tatsächlichen
Daten sind, wie schon mehrfach erwähnt, keine Daten aus Parallelgeometrien.
Tatsächlich lässt sich der Algorithmus aber auf die echten Daten
anpassen.
Wir schließen damit die Behandlung analytischer Methoden für die Inversion
der Radon–Transformation ab. Wir haben gezeigt: Die Inversion ist ein (mild)
schlecht gestelltes Problem der Ordnung 1/2.
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