Skript

c k =
1
(2π) 1/2
∫
||y|| |x| (Debye’s Beziehung). Also ist c k klein
für k > 2Ω. Also ist der Integrand wesentlich periodisch–bandbeschränkt mit
Bandbreite 2Ω. Mit Korollar 4.3.6 ist die Diskretisierung durch die Trapezregel
also exakt für π/p ≤ (2π)/Ω und damit
p ≥ Ω.
Insgesamt erhalten wir damit zusammengefasst:
Korollar 4.3.8. Sei p ≥ Ω und q ≥ Ω/π. Sei f eine (wesentlich) Ω–bandbeschränkte
Funktion mit Träger im Einheitskreis und g = Rf. g sei äquidistant
an p Richtungen und (2q + 1) Abständen abgetastet. Dann ist die Rekonstruktionsformel
f(x) = 2π p
1 ∑p−1
q
exakt (für den Ram–Lak–Filter).
j=0 l=−q
q∑
v Ω (x · θ j − s l )g(θ j , s l )
Das Korollar hat eine kleine Einschränkung: Da f nur wesentlich bandbeschränkt
ist, kommt ein kleiner Aliasing–Fehler für Frequenzen jenseits von Ω hinzu.
Wenn wir eine vorgegebene Auflösung Ω rekonstruieren wollen, erhalten wir
also Bedingungen an die Anzahl der Winkel und die Abstände. Wenn wir nichts
verschenken wollen, sollten wir p = Ω und q = Ω/π wählen und damit das
optimale Verhältnis
p = π · q.
Es bringt also nichts, etwa die Anzahl der Winkel zu erhöhen, sofern man nicht
gleichzeitig auch den Abstand der Detektoren verringert.
Implementiert man die Formel genau so wie angegeben, ist der Aufwand groß.
Damit f geeignet rekonstruiert wird, muss es an O(Ω 2 ) Stellen ausgewertet
werden (f hat Bandbreite Ω und liegt im Einheitskreis!). Die Auswertung erfordert
jeweils wieder O(Ω 2 ), also erhalten wir O(Ω 4 ), das ist zuviel.
Mit einem kleinen Trick können wir diesen Aufwand entscheidend verringern.
Wir berechnen zunächst für alle j und k (v ∗ g(θ j , ·))(s k ) und dann den Wert an
der Stelle x · θ j durch Interpolation. Damit erhalten wir den Algorithmus:
1. Berechne
h j,k = 1 q
q∑
v Ω (s k − s l )g j,l , k = −q . . . q, j = 0 . . . p − 1.
l=−q
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