Skript

optimale Wahl, die Wahl bleibt dem Betrachter überlassen, und so bieten denn
tatsächlich die Rekonstruktionsprogramme der CT–Hersteller (und auch Matlab
in iradon) bis zum Anwender herunter die Wahl eines Filters als Option an. Wir
werden uns hier ausschließlich mit dem einfachsten Ram–Lak–Filter beschäftigen.
Für diese Wahl ergibt sich (Übungen)
v Ω (s) = Ω 2 /4π 2 u(Ωs), u(s) = sinc (s) − 1 2 (sinc (s/2))2 . (4.3)
Nachdem analytisch die Wahl des Filters geklärt ist, bleibt die Frage, wie wir
die Rückprojektion verlustfrei mit Hilfe des Abtasttheorems implementieren.
Wir beschränken uns dabei auf die (nicht praxisgerechte) parallele Abtastung:
Sei also nun f ∈ S(R 2 ) ein (wesentlich) Ω–bandbeschränktes Bild mit Träger
im Einheitskreis, g = Rf. Es stehen Messungen der Form
zur Verfügung.
Wegen
g kl = g(θ k , s l ), θ k =
( cos(ϕk )
sin(ϕ k )
k = 0 . . . p − 1 , l = −q . . . q
̂f(σθ) = (2π) (n−1)/2 ĝ(θ, σ)
)
, ϕ k = kπ/p, s l = l/p,
ist mit f auch g Ω–bandbeschränkt (natürlich in der zweiten Variablen).
Zur Implementation von 4.2 müssen wir zunächst v und g falten. Dies tun wir
mit der Trapezregel, also
(v Ω ∗ g)(θ, s) ∼ h ∑ l
v Ω (s − s l )g(lh).
v Ω ist nach Definition Ω–bandbeschränkt, g auch (siehe oben), damit ist die
Approximation durch die Trapezregel exakt, wenn h ≤ π/Ω (4.3.5) und damit
q ≥ Ω/π.
Abschließend müssen wir noch die Rückprojektion implementieren. Sei x konstant.
Dann müssen wir das Integral
∫
S 1 (v Ω ∗ g)(θ, x · θ) dθ
diskretisieren. Wir betrachten dieses Integral für festes x und den Integranden
abhängig vom Winkel ϕ. Mit einer sehr ähnlichen Rechnung wie in 4.2.9 (und
insbesondere derselben Rechenregel aus dem Abramowitz–Stegun) gilt für die
Fourierkoeffizienten des Integranden
71