Skript
Skript Skript
Korollar 4.3.6. Sei f eine stetige, periodische Funktion auf R mit Periode 2π. Die Fourierkoeffizienten f k von Ω mit |k| > Ω seien (im wesentlichen) 0 (periodisch bandbeschränkt). Dann ist f bereits eindeutig bestimmt durch die Werte f(kh), h = π/M, M ≥ Ω, M ganz. Seien f und g periodisch bandbeschränkt, dann gilt ∫ 2π 0 f(x)g(x) dx = π/M 2M−1 ∑ l=0 f(lh)g(lh). Diese Sätze wollen wir zur Implementation von Inversionsformeln zur Radon– Transformation nutzen. Angenommen, unser Bild enthält Details bis zur Größe h = π/Ω. Wie genau müssen wir die Radon–Transformation messen, und wie müssen wir die analytischen Formeln anpassen, damit die Details gerade noch gesehen werden? Wie können wir den Aufwand möglichst klein halten? Das werden wir im nächsten Abschnitt untersuchen. 4.3.2 Implementation der gefilterten Rückprojektion Wir nutzen 4.2.25 zur Implementation. Im ganzen Abschnitt ist immer n = 2. Seien also g = Rf die gemessenen Daten. Sei v ∈ S(C) und V = R ∗ v. Dann wird 4.2.25 zu V ∗ f = R ∗ (v ∗ g). (4.2) Wählen wir v so, dass V die Dirac–Delta–Distribution ist, so liefert dies eine exakte Rekonstruktionsformel. Wir wollen aber die Idee der approximativen Inverse nutzen, die wir schon auf dem Übungszettel betrachtet hatten. Wir wollen also nicht f exakt ausrechnen, sondern V so wählen, dass f ∗V eine Mittelung von f ist. Auf dem Blatt hatten wir gezeigt, dass dies eine Regularisierung der Inversion darstellt. Im Lichte des letzten Kapitels: Wir nehmen an, dass f keine Details jenseits einer Grenze enthält, in unserer Sprechweise also bandbeschränkt ist mit Bandbreite Ω. Idealerweise sollte V abhängig von Ω so gewählt sein, dass f ∗ V für bandbeschränkte Funktionen das exakte Ergebnis liefert. Wir möchten also V vorgeben und daraus v berechnen. Wir wählen V rotationsinvariant (also: V (x) = V (||x||), und damit auch ̂V rotationsinvariant.Dies ist gesichert, wenn wir v(θ, s) = v(s) = v(−s) wählen. In diesem Fall kann man tatsächlich v und V leicht ineinander umrechnen. Satz 4.3.7. Sei v ∈ S(C), V = R ∗ v, v(θ, s) = v(s) = v(−s). Dann gilt im distributionellen Sinne ̂V (ξ) = 2(2π) (n−1)/2 |ξ| 1−n̂v(||ξ||). 69
Beweis: Sei w ∈ S(R n ) eine Testfunktion. Dann gilt T ̂R∗ v (w) = ( ̂R ∗ v, w) L 2 (R n ) = (R ∗ v, ŵ) L 2 (R n ) Parseval = (v, Rŵ) L 2 (C) Adjungierte = (̂v, (Rŵ)) ˜ L 2 (C) ∫ = (2π) (n−1)/2 S n−1 = 2(2π) (n−1)/2 ∫ R n ∫ R ̂v(σ)w(σ · θ)dσ dθ ||ξ|| 1−n̂v(||ξ||)w(ξ) dξ Parseval Fourier Slice = T 2(2π) (n−1)/2 ||ξ|| 1−n̂v(||ξ||) (w). □ Dieser Satz klärt nun auch, wie wir v für die exakte Rekonstruktion wählen müssen. Für V = δ erhalten wir als Fouriertransformierte die konstante Funktion 1/(2π) und damit Riesz (4.2.28) als (unstetige!) Rekonstruktionsformel. Wir wählen aber nun und ̂V Ω (ξ) = (2π) −n/2 ̂ϕ(||ξ||/Ω) ̂ϕ(σ) = { ∼ 1 σ < 1 0 sonst Somit ist V Ω eine Ω–bandbeschränkte Funktion. Wählt man die Gleichheit in ̂ϕ, so ist die Rekonstruktion Ω-bandbeschränkter Funktion nach 4.2 und dem Faltungssatz 4.2.5 exakt. v können wir mit Hilfe von 4.3.7 bestimmen und erhalten ̂v Ω (σ) = 1 2 (2π)1/2−n |σ| n−1 ̂ϕ(σ/Ω). Wir sehen natürlich sofort, dass dies eine Implementation der Inversionsformel 4.2.27 ist im Fall α = 0, bei der die Multiplikation mit dem Betrag des Arguments der Fouriertransformierten nur für Frequenzen bis Ω durchgeführt wird. Es ist sofort klar, dass die Fehlerverstärkung maximal Ω ist und damit die approximative Inversion stetig. Die Wahl der Filterfunktion ist in der Praxis entscheidend für die Glattheit der Bilder. Da die Bilder nicht tatsächlich bandbeschränkt sind, bewirkt die Wahl der Gleichheit in der Definition von ϕ (Ram-Lak-Filter nach Ramachandran und Lakshminarayanan, 1971) ein hartes Abschneiden im Fourierraum, was zu sichtbaren Artefakten führt. Deshalb wählt man häufig weiche Übergänge. Sofort einfallen würde einem ein Übergang mit Hilfe der Sinc–Funktion (Shepp–Logan– Filter) oder der Cosinusfunktion (Cosinus–Filter). Hier gibt es natürlich keine 70
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Beweis: Sei w ∈ S(R n ) eine Testfunktion. Dann gilt<br />
T ̂R∗ v (w) = ( ̂R ∗ v, w) L 2 (R n )<br />
= (R ∗ v, ŵ) L 2 (R n ) Parseval<br />
= (v, Rŵ) L 2 (C) Adjungierte<br />
= (̂v, (Rŵ)) ˜ L 2 (C)<br />
∫<br />
= (2π) (n−1)/2<br />
S n−1<br />
= 2(2π) (n−1)/2 ∫<br />
R n<br />
∫<br />
R<br />
̂v(σ)w(σ · θ)dσ dθ<br />
||ξ|| 1−n̂v(||ξ||)w(ξ) dξ<br />
Parseval<br />
Fourier Slice<br />
= T 2(2π) (n−1)/2 ||ξ|| 1−n̂v(||ξ||) (w). □<br />
Dieser Satz klärt nun auch, wie wir v für die exakte Rekonstruktion wählen müssen.<br />
Für V = δ erhalten wir als Fouriertransformierte die konstante Funktion<br />
1/(2π) und damit Riesz (4.2.28) als (unstetige!) Rekonstruktionsformel.<br />
Wir wählen aber nun<br />
und<br />
̂V Ω (ξ) = (2π) −n/2 ̂ϕ(||ξ||/Ω)<br />
̂ϕ(σ) =<br />
{ ∼ 1 σ < 1<br />
0 sonst<br />
Somit ist V Ω eine Ω–bandbeschränkte Funktion. Wählt man die Gleichheit in<br />
̂ϕ, so ist die Rekonstruktion Ω-bandbeschränkter Funktion nach 4.2 und dem<br />
Faltungssatz 4.2.5 exakt. v können wir mit Hilfe von 4.3.7 bestimmen und erhalten<br />
̂v Ω (σ) = 1 2 (2π)1/2−n |σ| n−1 ̂ϕ(σ/Ω).<br />
Wir sehen natürlich sofort, dass dies eine Implementation der Inversionsformel<br />
4.2.27 ist im Fall α = 0, bei der die Multiplikation mit dem Betrag des<br />
Arguments der Fouriertransformierten nur für Frequenzen bis Ω durchgeführt<br />
wird. Es ist sofort klar, dass die Fehlerverstärkung maximal Ω ist und damit die<br />
approximative Inversion stetig.<br />
Die Wahl der Filterfunktion ist in der Praxis entscheidend für die Glattheit der<br />
Bilder. Da die Bilder nicht tatsächlich bandbeschränkt sind, bewirkt die Wahl<br />
der Gleichheit in der Definition von ϕ (Ram-Lak-Filter nach Ramachandran und<br />
Lakshminarayanan, 1971) ein hartes Abschneiden im Fourierraum, was zu sichtbaren<br />
Artefakten führt. Deshalb wählt man häufig weiche Übergänge. Sofort<br />
einfallen würde einem ein Übergang mit Hilfe der Sinc–Funktion (Shepp–Logan–<br />
Filter) oder der Cosinusfunktion (Cosinus–Filter). Hier gibt es natürlich keine<br />
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