Skript
Skript Skript
Korollar 4.3.6. Sei f eine stetige, periodische Funktion auf R mit Periode 2π. Die Fourierkoeffizienten f k von Ω mit |k| > Ω seien (im wesentlichen) 0 (periodisch bandbeschränkt). Dann ist f bereits eindeutig bestimmt durch die Werte f(kh), h = π/M, M ≥ Ω, M ganz. Seien f und g periodisch bandbeschränkt, dann gilt ∫ 2π 0 f(x)g(x) dx = π/M 2M−1 ∑ l=0 f(lh)g(lh). Diese Sätze wollen wir zur Implementation von Inversionsformeln zur Radon– Transformation nutzen. Angenommen, unser Bild enthält Details bis zur Größe h = π/Ω. Wie genau müssen wir die Radon–Transformation messen, und wie müssen wir die analytischen Formeln anpassen, damit die Details gerade noch gesehen werden? Wie können wir den Aufwand möglichst klein halten? Das werden wir im nächsten Abschnitt untersuchen. 4.3.2 Implementation der gefilterten Rückprojektion Wir nutzen 4.2.25 zur Implementation. Im ganzen Abschnitt ist immer n = 2. Seien also g = Rf die gemessenen Daten. Sei v ∈ S(C) und V = R ∗ v. Dann wird 4.2.25 zu V ∗ f = R ∗ (v ∗ g). (4.2) Wählen wir v so, dass V die Dirac–Delta–Distribution ist, so liefert dies eine exakte Rekonstruktionsformel. Wir wollen aber die Idee der approximativen Inverse nutzen, die wir schon auf dem Übungszettel betrachtet hatten. Wir wollen also nicht f exakt ausrechnen, sondern V so wählen, dass f ∗V eine Mittelung von f ist. Auf dem Blatt hatten wir gezeigt, dass dies eine Regularisierung der Inversion darstellt. Im Lichte des letzten Kapitels: Wir nehmen an, dass f keine Details jenseits einer Grenze enthält, in unserer Sprechweise also bandbeschränkt ist mit Bandbreite Ω. Idealerweise sollte V abhängig von Ω so gewählt sein, dass f ∗ V für bandbeschränkte Funktionen das exakte Ergebnis liefert. Wir möchten also V vorgeben und daraus v berechnen. Wir wählen V rotationsinvariant (also: V (x) = V (||x||), und damit auch ̂V rotationsinvariant.Dies ist gesichert, wenn wir v(θ, s) = v(s) = v(−s) wählen. In diesem Fall kann man tatsächlich v und V leicht ineinander umrechnen. Satz 4.3.7. Sei v ∈ S(C), V = R ∗ v, v(θ, s) = v(s) = v(−s). Dann gilt im distributionellen Sinne ̂V (ξ) = 2(2π) (n−1)/2 |ξ| 1−n̂v(||ξ||). 69
Beweis: Sei w ∈ S(R n ) eine Testfunktion. Dann gilt T ̂R∗ v (w) = ( ̂R ∗ v, w) L 2 (R n ) = (R ∗ v, ŵ) L 2 (R n ) Parseval = (v, Rŵ) L 2 (C) Adjungierte = (̂v, (Rŵ)) ˜ L 2 (C) ∫ = (2π) (n−1)/2 S n−1 = 2(2π) (n−1)/2 ∫ R n ∫ R ̂v(σ)w(σ · θ)dσ dθ ||ξ|| 1−n̂v(||ξ||)w(ξ) dξ Parseval Fourier Slice = T 2(2π) (n−1)/2 ||ξ|| 1−n̂v(||ξ||) (w). □ Dieser Satz klärt nun auch, wie wir v für die exakte Rekonstruktion wählen müssen. Für V = δ erhalten wir als Fouriertransformierte die konstante Funktion 1/(2π) und damit Riesz (4.2.28) als (unstetige!) Rekonstruktionsformel. Wir wählen aber nun und ̂V Ω (ξ) = (2π) −n/2 ̂ϕ(||ξ||/Ω) ̂ϕ(σ) = { ∼ 1 σ < 1 0 sonst Somit ist V Ω eine Ω–bandbeschränkte Funktion. Wählt man die Gleichheit in ̂ϕ, so ist die Rekonstruktion Ω-bandbeschränkter Funktion nach 4.2 und dem Faltungssatz 4.2.5 exakt. v können wir mit Hilfe von 4.3.7 bestimmen und erhalten ̂v Ω (σ) = 1 2 (2π)1/2−n |σ| n−1 ̂ϕ(σ/Ω). Wir sehen natürlich sofort, dass dies eine Implementation der Inversionsformel 4.2.27 ist im Fall α = 0, bei der die Multiplikation mit dem Betrag des Arguments der Fouriertransformierten nur für Frequenzen bis Ω durchgeführt wird. Es ist sofort klar, dass die Fehlerverstärkung maximal Ω ist und damit die approximative Inversion stetig. Die Wahl der Filterfunktion ist in der Praxis entscheidend für die Glattheit der Bilder. Da die Bilder nicht tatsächlich bandbeschränkt sind, bewirkt die Wahl der Gleichheit in der Definition von ϕ (Ram-Lak-Filter nach Ramachandran und Lakshminarayanan, 1971) ein hartes Abschneiden im Fourierraum, was zu sichtbaren Artefakten führt. Deshalb wählt man häufig weiche Übergänge. Sofort einfallen würde einem ein Übergang mit Hilfe der Sinc–Funktion (Shepp–Logan– Filter) oder der Cosinusfunktion (Cosinus–Filter). Hier gibt es natürlich keine 70
- Seite 19 und 20: Definition 2.1.3 (kleinste Quadrate
- Seite 21 und 22: Bemerkung 2.1.12. karl • A ∗ Ax
- Seite 23 und 24: Da A kompakt ist, besitzt (y n ) n
- Seite 25 und 26: Theorem 2.2.10. Sei A ∈ L(X, Y )
- Seite 27 und 28: Durch Koeffizientenvergleich folgt:
- Seite 29 und 30: Kapitel 3 Regularisierungstheorie I
- Seite 31 und 32: Beweis. Sei y ∈ D(T † ) beliebi
- Seite 33 und 34: und weiterhin gilt. lim δC α(δ)
- Seite 35 und 36: Normalengleichungen. Außerdem ist
- Seite 37 und 38: Durch die Unstetigkeit an 0 wird di
- Seite 39 und 40: Kapitel 4 Inverse Probleme der Inte
- Seite 41 und 42: zu θ(ϕ k ) durchgeführt, daher h
- Seite 43 und 44: 4.2 Funktionalanalytische Grundlage
- Seite 45 und 46: ̂f a (ξ) = (2π) −n/2 ∫ R n =
- Seite 47 und 48: Satz 4.2.5. (Faltungssatz) Seien f,
- Seite 49 und 50: aber f ∉ L 2 (R 2 ). Die Fouriert
- Seite 51 und 52: Wir definieren also allgemein die A
- Seite 53 und 54: keinen Sinn, den das hintere Integr
- Seite 55 und 56: S(C) definiert durch (Rf)(θ, s) =
- Seite 57 und 58: = (2π) 1/2 ̂f(ξ) □ Satz 4.2.20
- Seite 59 und 60: ist ˜f(x) zumindest schon mal posi
- Seite 61 und 62: Theorem 4.2.27. Sei 0 ≤ α < n. D
- Seite 63 und 64: Cormack eine alternative Formel her
- Seite 65 und 66: Beweis: Sei ohne Einschränkung α
- Seite 67 und 68: g k = (2π/h) −n ∫ g(ξ)e i(kh)
- Seite 69: Man kann sich fragen, was die Bandb
- Seite 73 und 74: c k = 1 (2π) 1/2 ∫ ||y|| |x| (De
- Seite 75 und 76: 4.4 Was fehlt? Fanbeam. Interlaced
- Seite 77 und 78: die sogenannte Landweber iteration.
- Seite 79 und 80: Primal Adjungiert messungen unbekan
- Seite 81 und 82: Nichtlineare Probleme Wir diskutier
- Seite 83 und 84: We finally mention that any suitabl
- Seite 85 und 86: 5.5 Konjugierte Gradienten (Frank)
- Seite 87 und 88: Satz 5.5.2. Gesucht sei die Lösung
- Seite 89 und 90: 3. Sei m j = 1, ω = 1, C k = (A k
- Seite 91 und 92: linearisiert. Seien also nun die R
- Seite 93 und 94: entsprechend statistisch optimale R
- Seite 95 und 96: L(f) heißt Likelihoodfunktion. Man
- Seite 97 und 98: und das ist die erweiterte Form der
- Seite 99 und 100: Literaturverzeichnis [1] Ȧ. Björc
Korollar 4.3.6. Sei f eine stetige, periodische Funktion auf R mit Periode 2π.<br />
Die Fourierkoeffizienten f k von Ω mit |k| > Ω seien (im wesentlichen) 0 (periodisch<br />
bandbeschränkt). Dann ist f bereits eindeutig bestimmt durch die Werte<br />
f(kh), h = π/M, M ≥ Ω, M ganz. Seien f und g periodisch bandbeschränkt,<br />
dann gilt<br />
∫ 2π<br />
0<br />
f(x)g(x) dx = π/M<br />
2M−1<br />
∑<br />
l=0<br />
f(lh)g(lh).<br />
Diese Sätze wollen wir zur Implementation von Inversionsformeln zur Radon–<br />
Transformation nutzen. Angenommen, unser Bild enthält Details bis zur Größe<br />
h = π/Ω. Wie genau müssen wir die Radon–Transformation messen, und wie<br />
müssen wir die analytischen Formeln anpassen, damit die Details gerade noch<br />
gesehen werden? Wie können wir den Aufwand möglichst klein halten? Das<br />
werden wir im nächsten Abschnitt untersuchen.<br />
4.3.2 Implementation der gefilterten Rückprojektion<br />
Wir nutzen 4.2.25 zur Implementation. Im ganzen Abschnitt ist immer n = 2.<br />
Seien also g = Rf die gemessenen Daten. Sei v ∈ S(C) und V = R ∗ v. Dann<br />
wird 4.2.25 zu<br />
V ∗ f = R ∗ (v ∗ g). (4.2)<br />
Wählen wir v so, dass V die Dirac–Delta–Distribution ist, so liefert dies eine<br />
exakte Rekonstruktionsformel.<br />
Wir wollen aber die Idee der approximativen Inverse nutzen, die wir schon auf<br />
dem Übungszettel betrachtet hatten. Wir wollen also nicht f exakt ausrechnen,<br />
sondern V so wählen, dass f ∗V eine Mittelung von f ist. Auf dem Blatt hatten<br />
wir gezeigt, dass dies eine Regularisierung der Inversion darstellt.<br />
Im Lichte des letzten Kapitels: Wir nehmen an, dass f keine Details jenseits einer<br />
Grenze enthält, in unserer Sprechweise also bandbeschränkt ist mit Bandbreite<br />
Ω. Idealerweise sollte V abhängig von Ω so gewählt sein, dass f ∗ V<br />
für bandbeschränkte Funktionen das exakte Ergebnis liefert. Wir möchten also<br />
V vorgeben und daraus v berechnen. Wir wählen V rotationsinvariant (also:<br />
V (x) = V (||x||), und damit auch ̂V rotationsinvariant.Dies ist gesichert, wenn<br />
wir v(θ, s) = v(s) = v(−s) wählen. In diesem Fall kann man tatsächlich v und<br />
V leicht ineinander umrechnen.<br />
Satz 4.3.7. Sei v ∈ S(C), V = R ∗ v, v(θ, s) = v(s) = v(−s). Dann gilt im<br />
distributionellen Sinne<br />
̂V (ξ) = 2(2π) (n−1)/2 |ξ| 1−n̂v(||ξ||).<br />
69
Change language