Skript

d.h. die Genauigkeit der Approximation durch den zentralen Differenzenquotienten
hängt von der Glattheit der exakten Daten f ab. Betrachten wir nun die
Situation für unsere gestörte Funktion (1.1). Es gilt:
f δ (x + h) − f δ (x − h)
2h
der Fehler der Approximation beträgt also
∼
O(h ν ) + δ h ,
f(x + h) − f(x − h)
2h
+ δ h ,
mit ν = 1 falls f ∈ C 2 und ν = 2 falls f ∈ C 3 . Dies bedeutet dass der Fehler,
der durch die Störung verursacht wird, für großes h beliebig klein wird. Auf der
anderen Seite wird dann jedoch der Diskretisierungsfehler beliebig groß. Es
gibt daher eine optimale Gitterweite h 0 für die der Fehler minimal wird. Dies ist
schematisch in Abbildung 5.1 dargestellt, wegen ihrer Form wird diese Funktion
auch als L-curve bezeichnet. Der Fehler wird minimal, wenn man
h ∼ δ µ
wählt. Für µ = 1/2 bzw. µ = 1/3 erhält man also O( √ δ) bzw. O(δ 2 3 ) (für f ∈ C 2
bzw. f ∈ C 3 ).
Abbildung 1.2: Fehler aufgetragen gegen Gitterweite h
Tikhonov Regularisierung
Ein alternativer Ansatz besteht darin, vor dem Ableiten zuerst eine Approximation
der Daten mit besseren Eigenschaften zu berechnen, z.B. als Minimum des
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