Skript

Man kann sich fragen, was die Bandbeschränktheit im Ortsraum für die Detailauflösung
bedeutet. Eine einfache Deutung ist: Ω–bandbeschränkte Funktionen
können eindeutig rekonstruiert werden, wenn der Abstand zwischen
zwei Auswertepunkten π/Omega ist. Die Detailauflösung ist also offensichtlich
durch π/Ω nach unten beschränkt, andererseits werden größere Details
zumindest bemerkt. Wir weisen daher den Ω–bandbeschränkten Funktionen
die Auflösung π/Ω zu. Dies entspricht auch ungefähr der technischen Definition
(FWHM, full width/half Maximum).
Satz 4.3.4. (Shannonsches Abtasttheorem (Claude Shannon, 1916-2001, Nyquist,
Wiener, Whitacker, Kotelnikov, ...))
Sei f ∈ S(R n ) und Ω–bandbeschränkt, h ≤ π/Ω. Dann ist f eindeutig und
stabil bestimmt durch die Werte f(kh), k ∈ Z n und es gilt
f(x) = ∑
k∈Z n f(kh)sinc (π/h(x − kh)) = ∑
k∈Z n f(kh)sinc (πx/h − kπ).
Beweis: Natürlich mit der Poissonschen Formel (4.3.1).
Wegen Ω ≤ π/h ist f auch bandbeschränkt mit der Bandbreite Ω ′ = π/h. Für
||ξ|| ≤ Ω ′ verschwindet also wegen h ≤ π/Ω ′ = h der Aliasing–Fehler und es
gilt
̂f(ξ) = (2π) −n/2 h n ∑
k∈Z n f(kh)e −ikhξ
= (2π) −n/2 h n ∑
k∈Z n f(kh)e −ikhξ χ [−π/h,π/h] n.
Da aber sowohl linke als auch rechte Seite verschwinden für ||ξ|| > π/h, gilt die
Gleichung auch dort, und der Satz folgt durch inverse Fouriertransformation. □
Korollar 4.3.5. Seien f und g Ω–bandbeschränkt. Dann ist für h ≤ π/Ω
∫
f(x)g(x) dx = h ∑ n f(kh)g(kh).
k
R
Beweis: Einsetzen der Sincreihe, der sinc ist ein ONS.
□
Bemerkung: Das Shannon–Theorem gilt (mit angepassten Definitioen) auch für
Distributionen, wenn man h < π/Ω wählt (ohne Beweis).
Dies ist eine sehr wichtige Aussage: Damit gilt das Theorem insbesondere auch
für periodische Funktionen. Die Fouriertransformierte periodischer Funktionen
sind Delta–Distributionen, gewichtet mit den Fourierkoeffizienten (betrachte
hierzu einfach die Fourierreihe und beachte e ikξ . Wendet man das Shannontheorem
für periodische Funktionen an, so ergibt sich
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