Skript

In Techniker–Sprechweise bedeutet dies: Man muss eine Funktion mindestens
zweimal pro maximaler Wellenlänge abtasten. Ist die Bedingung nicht erfüllt,
so spricht man von Undersampling (sampling=Abtasten). Ist die Bedingung
übererfüllt, so spricht man von Oversampling. Unterabtastung führt zu Artefakten
(Schwebungen, Moiré–Muster).
Beispiel: Das menschliche Ohr nimmt Frequenzen etwa im Bereich von 20 bis
20.000 Hz auf. Um die maximale Frequenz erkennen zu können, wird bei CDs
mit 44.100 Hz abgetastet (statt, wie nötig, mit 40.000 Hz), es wird also leicht
überabgetastet. Der Grund ist, dass analoge Filter nicht hart abschneiden, sie
brauchen einen langsamen Übergang im Fourierraum. Sie werden daher so gebaut,
dass bis 20 KHz keine Änderung im Fourierraum stattfindet, und dann bis
44.100/2 = 22.050 Hz bis auf 0 heruntergefiltert wird. Tatsächlich ist dies sogar
noch zu knapp und wird nur mit zusätzlichen technischen Tricks erreicht. Wichtig
ist hier aber, zu bemerken: Mit rein digitalen Aufnahmeverfahren kommt
man nicht weiter, es muss vor der ersten Digitalisierung immer eine analoge
Stufe vorgeschaltet werden.
Es macht also Sinn, sich mit Funktionen zu beschäftigen, deren Fouriertransformierte
jenseits einer Grenze Ω verschwindet.
Definition 4.3.2. Sei f ∈ S(R n ). f heißt (wesentlich) Ω–bandbeschränkt, falls
̂f(ξ) (fast) = 0 für ||ξ|| > Ω.
Beispiel: Sei x ∈ R n und
sinc (x) := sinc (x 1 ) · . . . · sinc (x n ).
Dann gilt
( π
) n/2
ŝinc (ξ) = χ[−1,1] n(ξ).
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Insbesondere ist der Sinc bandbeschränkt mit Bandbreite 1. Mit
sinc Ω (x) := sinc (Ωx)
ist sinc Ω bandbeschränkt mit Bandbreite Ω.
Korollar 4.3.3. Sei f ∈ S(R n ). Dann verschwindet der Aliasing–Fehler
∑
̂f(ξ + 2πl/h)
l∈Z n \{0}
für Ω–bandbeschränkte Funktionen für h ≤ π/Ω. Für ξ = 0 gilt sogar
∫
f(x) dx = ̂f(0) = (2π) −n/2 h ∑ n f(kh)
k∈Z n
R n
für h ≤ 2π/Ω, d.h. die Trapezregel ist exakt.
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