Skript

g k = (2π/h) −n ∫
g(ξ)e i(kh)·ξ dξ
[−π/h,π/h] n
= (2π/h) −n ∫
= (2π/h) −n ∑
= (2π/h) −n ∑
[−π/h,π/h] n
= (2π/h) −n ∑
l∈Z n ∫
∑
l∈Z n [−π/h,π/h] n
̂f(ξ + 2πl/h)e i(kh)·ξ dξ
l∈Z n
∫
̂f(ξ + 2πl/h)e i(kh)·ξ dξ
∫
l∈Z n [−π/h,π/h] n +2πl/h
R n
= (2π) −n/2 h n f(kh)
und damit nach Definition von g
∑
l∈Z n ̂f(ξ + 2πl/h) = g(ξ) =
∑
̂f(ξ)e i(kh)·ξ dξ
k∈Z n g k e −i(hk)·ξ = ∑
Falls wir also ̂f(ξ) bestimmen wollen, so gilt
̂f(ξ) = (2π) −n/2 h n ∑
k∈Z n f(kh)e −i(hk)·ξ −
̂f(ξ)e i(kh)·ξ e} −2πik·l
{{ } dξ
=1
k∈Z n (2π) −n/2 h n f(kh)e −i(hk)·ξ .
∑
l∈Z n \{0}
̂f(ξ + 2πl/h) .
} {{ }
Aliasing-Fehler
In der Akustik ist der Aliasing-Fehler ein wohlbekanntes Phänomen. Beim Abtasten
eines Signals erzeugen Obertöne mit zu hoher Frequenz Geistertöne,
die von solchen mit niedriger Frequenz nicht zu unterscheiden sind. Dies lässt
sich aber einfach umgehen: Falls wir dafür sorgen, dass in der Formel in der
Summe alle Terme verschwinden, so wird die Formel exakt, und es treten keine
Geistertöne mehr auf. (TODO: Bilder)
Sei also nun |ξ| < Ω ′ . Dann treten in der Summe nur Auswertungen von ̂f an
Stellen ξ ′ mit |ξ ′ | > 2π/h − Ω ′ . Mit einem vorgeschalteten analogen Filter sorgt
man nun dafür, dass ̂f(ξ) = 0 für |ξ| ≥ Ω. Falls Ω ≤ 2π/h − Ω ′ , so treten keine
Geistertöne (kein Aliasing) auf. Damit alle auftretenden Frequenzen erkannt
werden können, muss die Ungleichung erfüllt sein für Ω ′ = Ω, und wir erhalten
Nyquists Abtastbedingung
h ≤ π/Ω.
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