Skript

aufgespannt werden. Hierdurch beschränken wir automatisch die in den Bildern
sichtbare Detailgröße (siehe die Einführung zu Beginn dieses Kapitels,
dort haben wir bereits angegeben, wie die Singulärwerte diskretisiert aussehen:
Es sind die trigonometrischen Funktionen). Die stabile Detailgröße können
wir explizit mit Hilfe von Shannons Abtasttheorem angeben.
4.3.1 Shannons Abtasttheorem für bandbeschränkte Funktionen
Die analytischen Formeln invertieren unendlich genaue, kontinuierliche Messungen.
Wir vermuten, dass wir durch Diskretisierung von 4.2.27 verlässliche
numerische Algorithmen erzeugen können. Dies beantwortet leider die dringendsten
Fragen der Ingenieure nicht: Wie genau muss man messen (insbesondere:
mit welcher Detektordichte), um einen Tumor vorgegebener Größe noch
eindeutig rekonstruieren zu können, oder umgekehrt: Objekte welcher Größe
kann ein gegebener Tomograph noch rekonstruieren?
Wir untersuchen zunächst in diesem Kapitel, unter welchen Voraussetzungen
sich eine diskret abgetastete Funktion eindeutig erkennen lässt. Hierzu nutzen
wir die Poissonsche Formel, die einen überraschenden Zusammenhang
zwischen einer diskret abgetasteten Funktion und ihrer Fouriertransformierten
herstellt.
Satz 4.3.1. (Poissonsche Formel)
Sei f ∈ S(R n ). Dann gilt
∑
̂f(ξ + 2πl/h) = (2π) −n/2 h ∑ n
l∈Z n
und insbesondere für ξ = 0
∑
l∈Z n ̂f(2πl/h) = (2π) −n/2 h n ∑
k∈Z n f(kh)e −ikhξ
k∈Z n f(kh).
Zur Interpretation: Die rechte Seite ist die Diskretisierung von ̂f(ξ + 2πl/h) mit
der Trapezregel an den Punkten f(kh), l ∈ Z n beliebig. Für jedes l bekommt
man dieselbe Diskretisierung, deshalb bekommen wir auf der linken Seite eine
Summe aller dieser Auswertungen. Die Formel als Approximation ist also ganz
natürlich, die Überraschung ist, dass sie exakt ist.
Beweis: Da die linke Seite der Gleichung die Periode 2π/h hat in ξ und stetig
ist, können wir sie in eine Fourierreihe entwickeln auf [−π/h, π/h] n . Für die
Fourierkoeffizienten g k gilt
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