Skript

Beweis: Sei ohne Einschränkung α = 0. Dann gilt
∫ ∫
||Rf|| 2 = (1 + σ 2 ) (n−1)/2 | ̂Rf(θ, σ)| 2 dσ dθ
H (n−1)/2
S n−1
R
= (2π) n−1 ∫
S n−1
= 2(2π) n−1 ∫
R n
∫
(1 + σ 2 ) (n−1)/2 | ̂f(σθ)| 2 dσ dθ
R
(1 + ||ξ|| 2 ) (n−1)/2
||ξ|| n−1 | ̂f(ξ)| 2 dξ.
Der Bruch ist immer größer als 1, also gilt insbesondere
||Rf|| 2 ≥ 2(2π) n−1 ||f|| 2 H (n−1)/2 L 2 (R n ) .
Zum Beweis der zweiten Ungleichung: Für ||ξ|| ≥ 1 ist der Bruch durch 2 (n−1)/2
nach oben beschränkt. Für ||ξ|| ≤ 1 existiert das Integral über den Bruch. Wir
ziehen aus dem Integral das Supremum von ̂f(ξ) 2 heraus und beachten, dass
∫
∫
| ̂f(ξ)| = | e −ixξ f(x) dx| ≤ |f(x)| dx ≤ |K| ||f|| L 2 (K)
K
K
mit Cauchy–Schwartz.
□
Bemerkung: Insbesondere ist die wichtigste Anwendung der Radon–Transformation
für die Computertomographie schlecht gestellt von der Ordnung 1/2
und damit deutlich besser gestellt als die Aufgabe der Berechnung der ersten
Ableitung, die schlecht gestellt ist von der Ordnung 1 (nach Definition des Grades
der Schlechtgestelltheit).
Bemerkung: Die Schlechtgestelltheit ist bereits in der Inversionsfomel 4.2.27
sichtbar. Die Fehler in der Datenfunktion ĝ(θ, σ) werden im Zwischenergebnis
mit |σ| (n−1) verstärkt, für großes |σ| erhalten wir also auch beliebig hohe
Rekonstruktionsfehler bei kleinem Datenfehler. Allerdings wird durch die
anschließende Integration noch einmal geglättet, so dass sich der Grad der
Schlechtgestelltheit insgesamt auf die Hälfte reduziert.
4.3 Implementation
Im letzten Abschnitt haben wir nachgewiesen, dass die Inversion der Radon–
Transformation schlecht gestellt ist von der Ordnung 1/2. Zur Implementation
der Algorithmen müssen wir also insbesondere regularisieren. Wir werden dies
durch Projektion auf stabile Unterräume tun, wir suchen die Lösung also in Unterräumen,
die von Singulärvektoren mit großen zugehörigen Singulärwerten
64