Skript
Skript Skript
Es seien f und g verallgemeinert differenzierbar, also g ∈ H 1 (C) und f ∈ H 1 (R n ) für den Sobolevraum H 1 . Die übliche Norm in H 1 enthält die 2–Norm der Funktion und ihrer Ableitungen, es gilt also ∑ ||f|| H 1 = ||(D α f)|| 2 2 |α|≤1, α∈N n = ∑ || ̂D α f|| 2 2 |α|≤1 = ∑ ||ξ α 2 ̂f|| 2 = = |α|≤1 ∫ (1 + ξ1 2 + ξ2 2 + . . . + ξn)| 2 ̂f(ξ)| 2 dξ R ∫ n (1 + ||ξ|| 2 2)| ̂f(ξ)| 2 dξ. R n Allgemein definieren wir für β ∈ R ≥0 und f mit (1 + ||ξ|| 2 ) β | ̂f(ξ)| 2 integrierbar ∫ ||f|| 2 H = (1 + ||ξ|| 2 ) β | ̂f(ξ)| 2 dξ β R n und ||g|| 2 H β = ∫ S n−1 ∫ R (1 + σ 2 ) β |ĝ(θ, σ)| 2 dσ dθ. Für ganzzahliges β ist die so definierte Norm äquivalent zur üblichen Norm in H β . Satz 4.2.31. (Schlechtgestelltheit der Radontransformation) Sei K ∈ R n kompakt. Für alle α ≥ 0 gibt es c, c ′ (abhängig von K und α), so dass c||f|| H α (R n ) ≤ ||Rf|| H α+(n−1)/2 (C) ≤ c′ ||f|| H α (R n ) ∀f ∈ C ∞ 0 (K). Insbesondere gilt für g = Rf ||R −1 g|| L 2 (R n ) ≤ 1 c ||g|| H (n−1)/2 (C) ≤ c′ c ||R−1 g|| L 2 (R n ) R −1 ist also genau dann stetig, falls die Norm im Datenraum Ableitungen der Ordnung (n − 1)/2 enthält, also ist die Aufgabe der Inversion von R schlecht gestellt von der Ordnung (n − 1)/2. □ 63
Beweis: Sei ohne Einschränkung α = 0. Dann gilt ∫ ∫ ||Rf|| 2 = (1 + σ 2 ) (n−1)/2 | ̂Rf(θ, σ)| 2 dσ dθ H (n−1)/2 S n−1 R = (2π) n−1 ∫ S n−1 = 2(2π) n−1 ∫ R n ∫ (1 + σ 2 ) (n−1)/2 | ̂f(σθ)| 2 dσ dθ R (1 + ||ξ|| 2 ) (n−1)/2 ||ξ|| n−1 | ̂f(ξ)| 2 dξ. Der Bruch ist immer größer als 1, also gilt insbesondere ||Rf|| 2 ≥ 2(2π) n−1 ||f|| 2 H (n−1)/2 L 2 (R n ) . Zum Beweis der zweiten Ungleichung: Für ||ξ|| ≥ 1 ist der Bruch durch 2 (n−1)/2 nach oben beschränkt. Für ||ξ|| ≤ 1 existiert das Integral über den Bruch. Wir ziehen aus dem Integral das Supremum von ̂f(ξ) 2 heraus und beachten, dass ∫ ∫ | ̂f(ξ)| = | e −ixξ f(x) dx| ≤ |f(x)| dx ≤ |K| ||f|| L 2 (K) K K mit Cauchy–Schwartz. □ Bemerkung: Insbesondere ist die wichtigste Anwendung der Radon–Transformation für die Computertomographie schlecht gestellt von der Ordnung 1/2 und damit deutlich besser gestellt als die Aufgabe der Berechnung der ersten Ableitung, die schlecht gestellt ist von der Ordnung 1 (nach Definition des Grades der Schlechtgestelltheit). Bemerkung: Die Schlechtgestelltheit ist bereits in der Inversionsfomel 4.2.27 sichtbar. Die Fehler in der Datenfunktion ĝ(θ, σ) werden im Zwischenergebnis mit |σ| (n−1) verstärkt, für großes |σ| erhalten wir also auch beliebig hohe Rekonstruktionsfehler bei kleinem Datenfehler. Allerdings wird durch die anschließende Integration noch einmal geglättet, so dass sich der Grad der Schlechtgestelltheit insgesamt auf die Hälfte reduziert. 4.3 Implementation Im letzten Abschnitt haben wir nachgewiesen, dass die Inversion der Radon– Transformation schlecht gestellt ist von der Ordnung 1/2. Zur Implementation der Algorithmen müssen wir also insbesondere regularisieren. Wir werden dies durch Projektion auf stabile Unterräume tun, wir suchen die Lösung also in Unterräumen, die von Singulärvektoren mit großen zugehörigen Singulärwerten 64
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Es seien f und g verallgemeinert differenzierbar, also g ∈ H 1 (C) und f ∈<br />
H 1 (R n ) für den Sobolevraum H 1 . Die übliche Norm in H 1 enthält die 2–Norm<br />
der Funktion und ihrer Ableitungen, es gilt also<br />
∑<br />
||f|| H 1 =<br />
||(D α f)|| 2 2<br />
|α|≤1, α∈N n<br />
= ∑<br />
|| ̂D α f|| 2 2<br />
|α|≤1<br />
= ∑<br />
||ξ α 2 ̂f|| 2<br />
=<br />
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|α|≤1<br />
∫<br />
(1 + ξ1 2 + ξ2 2 + . . . + ξn)| 2 ̂f(ξ)| 2 dξ<br />
R<br />
∫<br />
n (1 + ||ξ|| 2 2)| ̂f(ξ)| 2 dξ.<br />
R n<br />
Allgemein definieren wir für β ∈ R ≥0 und f mit (1 + ||ξ|| 2 ) β | ̂f(ξ)| 2 integrierbar<br />
∫<br />
||f|| 2 H<br />
= (1 + ||ξ|| 2 ) β | ̂f(ξ)| 2 dξ<br />
β<br />
R n<br />
und<br />
||g|| 2 H β =<br />
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∫<br />
R<br />
(1 + σ 2 ) β |ĝ(θ, σ)| 2 dσ dθ.<br />
Für ganzzahliges β ist die so definierte Norm äquivalent zur üblichen Norm in<br />
H β .<br />
Satz 4.2.31. (Schlechtgestelltheit der Radontransformation)<br />
Sei K ∈ R n kompakt. Für alle α ≥ 0 gibt es c, c ′ (abhängig von K und α), so<br />
dass<br />
c||f|| H α (R n ) ≤ ||Rf|| H α+(n−1)/2 (C) ≤ c′ ||f|| H α (R n ) ∀f ∈ C ∞ 0 (K).<br />
Insbesondere gilt für g = Rf<br />
||R −1 g|| L 2 (R n ) ≤ 1 c ||g|| H (n−1)/2 (C) ≤ c′<br />
c ||R−1 g|| L 2 (R n )<br />
R −1 ist also genau dann stetig, falls die Norm im Datenraum Ableitungen der<br />
Ordnung (n − 1)/2 enthält, also ist die Aufgabe der Inversion von R schlecht<br />
gestellt von der Ordnung (n − 1)/2.<br />
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