Skript

Cormack eine alternative Formel her ([14]). Dabei werden die Daten g als
Linearkombination von Kugelflächenfunktionen dargestellt, die Entwicklungskoeffizienten
von f, wieder bezüglich der Kugelflächenfunktionen,
werden daraus explizit ausgerechnet.
Offensichtlich erfüllt eine Datenfunktion g = Rf unabhängig von θ die Beziehung
∫
R
∫
∫
g(θ, s) ds = (Rf)(θ, s) ds =
R
∫
R x·θ=s
∫
f(x) dx ds =
Tatsächlich lässt sich das Bild von R eindeutig charakterisieren.
R n f(x) dx = C.
Satz 4.2.29. (Bild der Radon–Transformation)
Es ist g ∈ S(R) im Bild von R genau dann, wenn es für alle m ein q m ∈ P m (R n )
gibt mit q m (λx) = λ m q m (x), g(θ, s) = g(−θ, −s) und
∫
s m Rf(θ, s) = q m (θ).
R
Beweis: Übungen.
□
Bemerkung: Dieser Satz kann beispielsweise zur Qualitätskontrolle von CT–
Daten genutzt werden.
4.2.4 Sobolev–Abschätzungen für die Radontransformation
Nachdem die Invertierbarkeit nun geklärt ist, stellen wir für die inversen Probleme
natürlich die Frage: Sind R und R −1 stetig bezüglich vernünftiger Normen?
Für R und die L 2 –Norm ist dies leicht zu zeigen. Für ungerades n hatten
wir oben die Inversion bereits mit Hilfe der (n − 1). Ableitung angegeben, wir
wissen also bereits, dass die Inverse stetig ist, wenn in der Norm die (n − 1).
Ableitung stetig ist. Doch es geht sogar noch etwas besser.
Satz 4.2.30. Sei K kompakt. Dann ist R : C ∞ 0 (K) ↦→ L2 (C) stetig bzgl. der
L 2 –Norm.
Beweis: Ohne Einschränkung sei K = [−1, 1] n .
∫
|(Rf)(θ, s)| 2 =
1 · f(sθ + y) dy 2
≤
y∈θ ⊥ ,||y|| ∞≤1
2 n−1 ∫
|f(sθ + y)| 2 dy
θ ⊥
mit Cauchy–Schwartz und durch Integration über s und θ
∫ ∫ ∫
||(Rf)|| L 2 (C) ≤ 2 n−1 |f(sθ + y)| 2 dy ds dθ ≤ 2 n−1 |S n−1 | ||f|| L 2 (R n ).
S n−1 R θ ⊥
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