Skript

Bemerkung:
1. Sei h ∈ S(R 1 ).
Î 1−n h(σ) = |σ| n−1 ĥ(σ)
= sgn (σ) n−1 σ n−1 ĥ(σ)
= sgn (σ) n−1ĥ(n−1) (σ)(−i) n−1
= ̂ Hn−1 h (n−1) (σ)
wobei H n−1 die (n − 1)–mal angewandte Hilberttransformation (4.2.15)
einer Funktion ist, und h (n−1) die (n − 1). Ableitung von h.
Sei nun n ungerade und α = 0. Wegen H 2 h = −h ist dann I 1−n h =
(−1) (n−1)/2 h (n−1) . Eingesetzt in 4.2.27 ergibt sich damit
f(x) = (−1) (n−1)/2 1 2 (2π)(1−n) R ∗ (Rf) (n−1) (x)
wobei (Rf) (n−1) wieder die Ableitung nach der zweiten Variablen ist.
Dies hat eine interessante Konsequenz: Zur Berechnung von (R ∗ Rf)(x)
wird Rf nur auf Hyperebenen benutzt, die durch den Punkt x gehen. Zur
Berechnung der Ableitung an einem Punkt muss eine Funktion in einer
kleinen Umgebung dieses Punktes bekannt sein.
Falls also Rf(θ, x) in einer kleinen Umgebung aller Hyperebenen durch
den Punkt x bekannt ist, so ist f(x) berechenbar. Die Inversion ist also
in einem Sinne lokal: Zur Berechnung des Bildes eines Herzens werden
nur Messwerte eingesetzt, die durch (oder fast durch) das Herz gehen.
Im wichtigsten Fall von zwei Dimensionen ist es leider anders: Hier bleibt
die Hilberttransformation stehen, die Inversion ist global (denn die Hilberttransformation
ist nicht lokal), und zur Berechnung von f(x) muss
R ∗ Rf überall gemessen werden, die Inversion ist nicht lokal.
2. Sei α = n − 1 und n = 3. Dann gilt
Î α f(ξ) = Î1−n f(ξ) = ||ξ|| 2 ̂f(ξ) = (ξ
2
1 + ξ 2 2) ̂f(ξ) = ̂∆f(ξ)(−i) 2
und damit
f(x) = − 1 ∫
2(2π) 2 ∆ x
S 2
g(θ, x · θ) dθ.
Dies ist Radons originale Inversionsformel für die Dimension 3, für die
Dimension 2 rechnen wir Radons Inversionsformel auf dem Übungsblatt
nach.
3. Ausgerechnet der erste von Cormack gebaute Tomograph arbeitete nicht
mit dieser Formel. Mit Hilfe von Sätzen über spezielle Funktionen leitete
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