Skript

Theorem 4.2.27. Sei 0 ≤ α < n. Dann gilt
f = 1 2 (2π)(1−n) I −α R ∗ I α−n+1 Rf.
Beweis:
(I α f)(x) = (2π) −n/2 ∫
||ξ|| −α ̂f(ξ)e ixξ dξ
R n
= (2π) −n/2 ∫
∫
σ n−1−α ̂f(σθ)e ixσθ dσ dθ
S n−1 R +
= (2π) −n+1/2 ∫
∫
σ n−1−α ̂Rf(θ, σ)e iσxθ dσ dθ
= (2π) −n+1/2 1 2
∫
= (2π) −n+1
S n−1 R +
∫
S n−1
∫
R
|σ| n−1−α ̂Rf(θ, σ)e iσxθ dσ dθ
S n−1 1
2 (I−n+α+1 Rf)(θ, x · θ) dθ
= 1 2 (2π)−n+1 (R ∗ I −n+1+α Rf)(x)
und daraus folgt der Satz wegen I −α I α f = f.
□
Für jedes α < n liefert das Theorem eine Inversionsformel. Wir betrachten die
zwei Spezialfälle:
Beispiel 4.2.28.
1. α = 0: Dies liefert die gefilterte Rückprojektion,
f = 1 2 (2π)1−n R ∗ I 1−n Rf.
Man erhält das Bild zurück durch Rückprojektion einer gefalteten (gefilterten)
Datenfunktion. Dies liefert die Funktion h aus 4.2.25.
2. α = n − 1: In diesem Fall erhalten wir
f = 1 2 (2π)1−n I 1−n R ∗ g.
Man erhält das Bild zurück durch Rückprojektion und eine anschließende
Entfaltung im Ortsraum, diesen Algorithmus hatten wir bereits explizit
nachgerechnet. Sein Name ist ρ–filtered layergram (layergram ist der
Ingenieur–Name für die Rückprojektion, gefiltert wird in 2D gerade mit
ρ = ||x||).
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