Skript

Lemma 4.2.25. Sei h ∈ S(C), f ∈ S(R n ). Dann gilt
(R ∗ h) ∗ f = R ∗ (h ∗ Rf).
Beweis: Sei x ∈ R n .
(R ∗ (h ∗ Rf))(x) =
=
=
=
=
∫
(h ∗ Rf)(θ, x · θ) dθ
S n−1 ∫ ∫
h(θ, x · θ − s)Rf(θ, s) dsθ
S n−1
∫
S n−1
∫
R
∫
R
∫
S n−1 R n
∫
∫
h(θ, x · θ − s) f(y) dy dsθ
y·θ=s
h(θ, x · θ − y · θ)f(y) dy dθ
f(y)((R ∗ h)(x − y)) dy
R n
= (f ∗ R ∗ h)(x)
Insbesondere gilt: Falls R ∗ h = δ, so gilt f = R ∗ (h ∗ Rf). Dieser Satz wird
die Grundlage für die Implementation des Standardalgorithmus der CT, die gefilterte
Rückprojektion, sein.
Wir haben in 4.2.24 bereits gesehen, dass in zwei Dimensionen der Operator,
der eine Funktion im Frequenzraum mit ||ξ|| multipliziert, die Radontransformation
invertiert. Eine Verallgemeinerung dieses Operators nennen wir Riesz-
Potential.
Definition 4.2.26. (Riesz-Potential) Sei α < n, f ∈ S(R n ), g ∈ S(C). Dann ist
denn 1
||ξ|| α
||ξ|| −α ̂f(ξ) ∈ L 1 ,
ist für α < n bei 0 integrierbar, und ̂f(ξ) fällt schnell für große |ξ|.
Somit ist die Abbildung
I α : S(R n ) ↦→ S(R n ), ̂(I α f)(ξ) := ||ξ|| −α ̂f(ξ)
wohldefiniert und heißt Riesz–Potential. Entsprechend definieren wir für α < 1
̂(I α g)(θ, σ) = |σ| −α ĝ(θ, σ).
Bemerkung: Das Riesz–Potential einer Funktion liefert seine Faltung mit der
inversen Fouriertransformierten von |σ| −α . Das Riesz-Potential nutzen wir nun,
um eine ganze Klasse von Inversionsformeln herzuleiten.
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