Skript

Dieses Ergebnis ist nicht verwunderlich: Durch Gleichung (1.2) geben wir bereits
eine Schranke und die Funktion f ′ vor, die wir eigentlich bestimmen wollen.
Diese Annahme ist für praktische Problem natürlich völlig unrealistisch.
Es wird jedoch deutlich, dass das Verhalten des inversen Problems immer von
der Norm abhängt, in der es betratet wird. Wir werden auf diesen Aspekt später
zurückkommen.
Funktionalanalytische Sichtweise
Das Differenzieren der Funktion f ∈ C 1 ([0, 1]) ist nichts anderes als das Lösen
der folgenden Integralgleichung erster Art
(Kx)(s) :=
∫ s
0
x(t) dt = f(s) − f(0), (1.3)
denn für die Lösung x gilt offensichtlicht x = f ′ . Wir betrachten K definiert in
(1.3) als einen Operator definiert auf f ∈ C([0, 1]). Dieser Operator ist stetig,
linear und injektiv und seine Inverse, definiert auf f ∈ C 1 ([0, 1]), ist unbeschränkt.
Die Anwendung des Operators auf eine Funktion ist eine Operation mit glättenden
Eigenschaften ist, d.h. Oszillationen mit hoher Frequenz (z.B. n cos ( )
nx
) δ
). Daher erscheinen sie jedoch
für großes n) werden gedämpft (zu δ sin ( nx
δ
auch kaum in den Daten, in diesem Fall der Funktion f. Dies ist ein generelles
Phänomen: Hat das direkte Problem glättende Eigenschaften rufen kleine
Störungen in den Daten Oszillationen in der Lösung des zugehörigen inversen
Problems hervor. Für unser konkretes Beispiel stellt sich die Frage: Unter welchen
Umständen ist es trotzdem möglich, die Ableitung einer (mit einem Fehler
behafteten) Funktion zu berechnen?
Regularisierung durch Diskretisierung
Nachdem wir nun einige Probleme bei der Differentiation von Daten genauer
analysiert haben wenden wir uns den praktischen Aspekten dieses Problems
zu und betrachten die Approximation der Ableitung einer Funktion f ∈ C 2
durch einen zentralen Differenzenquotienten (s. [18]):
f(x + h) − f(x − h)
2h
= f ′ (x) + O(h),
falls f ∈ C 3 , dann gilt sogar
f(x + h) − f(x − h)
2h
= f ′ (x) + O(h 2 ),
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