Skript

ist ˜f(x) zumindest schon mal positiv. Leider gibt es auch für alle Punkte außerhalb
des Supports von f immer Linien, die den Träger schneiden, wir erhalten
also auch hier einen positiven Mittelwert. Die Anzahl dieser Linien nimmt aber
offensichtlich gerade mit dem Kehrwert des Abstand von x zum Ursprung ab.
Eine Delta–Quelle am Ursprung würde also wie 1/||x|| rekonstruiert werden.
Diese einfache geometrische Überlegung führt uns zu der Vermutung
R ∗ Rf = C( 1
||x|| ∗ f).
Man sieht leicht, dass dies tatsächlich stimmt. Für n = 2 gilt
Satz 4.2.23. (Filterung der Rückprojektion im Bildraum) Sei f ∈ S(R n ). Dann
gilt
(
)
R ∗ Rf = |S n−2 1
|
|| · || n−1 ∗ f (x).
Beweis:
R ∗ Rf(x) =
=
=
∫
S n−1
∫
Rf(θ, x · θ) dθ
∫
S n−1 y·θ=x·θ
∫
∫
S n−1 y·θ=0
f(y) dy dθ
f(x + y) dy dθ
∫
= |S n−2 1
| f(x + y)
||y||
R
(
2 )
= |S n−2 1
|
|| · || n−1 ∗ f (x).
n−1
dy
□
Hierbei ist der Faktor |S n−2 | für n = 2 klar, für n > 2 ist die Formel ohnehin
Spezialfall von 4.2.27.
Zusammen mit dem Faltungssatz und der bekannten Fixpunkteigenschaft ̂1/r =
1/r in zwei Dimensionen liefert dies die zweite Inversionsformel, die wir aber
noch viel allgemeiner angeben werden:
Korollar 4.2.24. Für f ∈ S(R 2 ), ξ ∈ R 2 gilt
̂f(ξ) =
√ π
2 (||ξ|| · ̂R ∗ Rf(ξ)).
Beweis: Faltungssatz 4.2.5, 4.2.16, 4.2.23.
□
Zunächst wollen wir eine weitere Eigenschaft der Rückprojektion betrachten.
Die Rückprojektion einer Faltung im Messraum liefert eine Faltung im Bildraum.
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