Skript

Satz 4.2.22. (Rückprojektion)
Sei R ∗ : S(C) ↦→ S(R n ) die L 2 –Adjungierte von R. Dann gilt
∫
(R ∗ g)(x) = g(θ, x · θ)d θ.
S n−1
R ∗ g heißt Rückprojektion von g.
Beweis:
(Rf, g) L2 (C) =
=
=
∫ ∫
g(θ, s)(Rf)(θ, s)d θ ds
R S n−1
∫ ∫ ∫
R S
∫
n−1 ∫
x·θ=s
g(θ, s) f(x) dx dθ ds
f(x)g(θ, x · θ) dx dθ
=
S n−1 R n
∫
f(x)
∫
g(θ, x · θ) dθ dx
R n
S n−1
= (f, R ∗ g) L2 (R n ).
} {{ }
=:(R ∗ g)(x)
In den schlecht gestellten Problemen spielt die Adjungierte als Approximation
für die Inverse häufig eine große Rolle: Zumindest ist sie ein vernünftiger, auf
R aufbauender Operator, der zwischen denselben Räumen wie R −1 vermittelt.
Die meisten iterativen Algorithmen nutzen die Adjungierte als Teiloperator, es
ist also sehr nützlich, dass wir diese für die Radontransformation explizit angeben
können.
Der Name Rückprojektion macht deutlich, was der Operator tut: Zur Berechnung
von (R ∗ g)(x) werden die Messwerte über alle Linien durch den Punkt x
integriert, die Messwerte werden einfach gleichmäßig in den Bildraum zurückprojiziert.
Sie ist die einfachste, sehr offensichtliche numerische Inversionsformel
für die Radontransformation, bekannt als ungefilterte Rückprojektion:
Bilde den Mittelwert aus allen Messungen, die vom Wert f(x) beeinflusst werden,
und weise diesen dem Bildpunkt x in der Inversion zu.
Dass dabei kein scharfes Bild herauskommen kann, liegt auf der Hand. Betrachten
wir etwa für f die charakteristische Funktion eines kleinen Kreises um
den Nullpunkt, und die ungefilterte Rückprojektion ˜f = R ∗ Rf. Für die Punkte
x im Kreis haben alle Messlinien durch x einen nichtleeren Schnitt mit dem Träger
von f, wir erwarten also zumindest einen nicht–negativen Mittelwert, also
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