Skript

= (2π) 1/2 ̂f(ξ)
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Satz 4.2.20. (Fourier–Slice für die Röntgentransformation) Sei f ∈ S(R n ).
Dann gilt
̂P f(θ, ξ) = (2π) 1/2 ̂f(ξ), θ ∈ S n−1 , ξ ∈ θ ⊥ .
Hierbei wird die Fouriertransformierte von P f im zweiten Argument genommen
auf dem Grundraum θ ⊥ .
Beweis:
̂P f(θ, ξ) = (2π) (1−n)/2 ∫
e −ixξ P f(θ, x) dx
θ ⊥
= (2π) (1−n)/2 ∫
θ ⊥
= (2π) (1−n)/2 ∫
θ ⊥
∫
R
∫
R
e −ixξ f(x + t · θ) dt dx
e −i(x+tθ)ξ f(x + t · θ) dt dx
Also ist insbesondere auch die Röntgen–Transformation invertierbar.
C ′ ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension 2(n − 1). Für n > 2 ist bei der Inversion
der Röntgen–Transformation also die Dimension des Datenraums größer
als n, die Dimension des Definitionsraums von f. Das Problem ist also überbestimmt.
Dies wird im Satz deutlich: Zur Bestimmung von ̂f(ξ) liefert uns jedes
θ ∈ S n−1 ∩ ξ ⊥ eine andere Inversionsformel.
Als Anwendung von Fourier–Slice berechnen wir die Radontransformierte einer
Ableitung.
Lemma 4.2.21. Sei f ∈ S(R n ), α ∈ N n . Dann gilt
R(D α f) = θ α D |α| (Rf).
Hierbei bezieht sich die Differentiation in S(C), wie schon oben angekündigt,
auf das zweite Argument.
Beweis:
R(D ̂ f)(θ, σ) = (2π) (n−1)/2 ̂Dα f(σθ)
= (2π) (n−1)/2 (σθ) α |α| ̂f(σθ)i
= i |α| σ |α| θ α ̂Rf(θ, σ)
= θ α D ̂|α|
(Rf)(θ, σ)
mit Fourier–Slice und den Rechenregeln der Fouriertransformation. Fourier–
Slice übersetzt also die Radontransformation in den Frequenzraum, und die
Sätze dort übersetzen sich sofort in Sätze über die Radontransformation. □
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