Skript

Der Satz sagt also: Falls die Radontransformation auf Linien senkrecht zu θ
bekannt ist (und damit auch ihre Fouriertransformation), so können die Fourierkoeffizienten
von f auf einer Geraden durch den Ursprung mit Richtung θ
berechnet werden. Um also Kontraste einer Funktion in einer Richtung θ sehen
zu können, muss man im Winkel von 90 Grad daraufschauen – dies entspricht
der Erwartung. (Bild Kontrast Fourierraum - Bildraum)
Leider stellt sich heraus, dass der Satz sehr schwierig numerisch umzusetzen
ist. Falls Rf wie in unserem einführenden Beispiel für Rf(θ k , s l ) bekannt ist,
so läge eigentlich der folgende Algorithmus nahe:
1. Berechne die 1D–Fouriertransformierte ̂Rf(θ k , σ l ) = ̂f(σ l θ k ).
2. Berechne mit der nD–inversen Fouriertransformation eine Approximation
für f.
Schritt 1 kann schnell durchgeführt werden mit Hilfe der schnellen Fouriertransformation,
denn die Stützstellen sind aquidistant. In Schritt 2 ist aber die Fouriertransformierte
auf einem polaren Gitter bekannt, die FFT arbeitet aber nur
auf Rechteckgittern. Hier muss also zunächst interpoliert werden, und man
kann zeigen, dass dieser Schritt im allgemeinen instabil ist (außer, man benutzt
sehr teure Interpolationsverfahren, siehe ([14])). Eine Alternative ist die
Verwendung von nicht–äquidistanten Algorithmen zur schnellen Fouriertransformation,
siehe ([7]).
Aufgrund dieser Schwierigkeiten wird im Allgemeinen nicht das Fourier–Scheiben–
Theorem, sondern die gefilterte Rückprojektion genutzt, die wir noch kennenlernen
werden. Zunächst definieren wir aber noch die Röntgen–Transformation,
die z.B. CT in 3D beschreibt. Während die Radon–Transformation als Integral
über (n − 1)-dimensionale Mannigfaltigkeiten definiert ist, sind es bei der
Röntgen–Transformation immer Linienintegrale.
Definition 4.2.19. (Röntgen-Transformation) Die Röntgen–Transformation ist
definiert durch
P : S(R n ) ↦→ S(C ′ ), C ′ = {(θ, x) ∈ S n−1 × R n : x · θ = 0}
∫
P f(θ, x) = f(x + tθ) dt.
In zwei Dimensionen gilt natürlich
R
Rf(θ, s) = P f(θ ⊥ , s · θ).
Die Röntgen–Transformation erlaubt meist ähnliche Sätze wie die Radon–Transformation,
auch die Beweise sind sehr ähnlich. Als Beispiel hier kurz Fourier–Slice für die
Röntgen–Transformation:
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