Skript

S(C) definiert durch
(Rf)(θ, s) =
=
∫
f(x) dx (= dσ(x))
x·θ=s
∫
f(s · θ + y) dy
=
=
θ ⊥
∫
θ ⊥
∫
∫
δ(t − s)f(tθ + y) dt dy
R
δ(x · θ − s)f(x) dx.
R n
Hierbei schreiben wir die Delta–Distribution als Funktion, die Interpretation im
distributionellen Sinne ist offensichtlich. Falls nicht ausdrücklich anders gesagt,
beziehen sich Differentiation, Fouriertransformation und Grenzwertbildung
in S(C) immer auf das zweite Argument.
Mit Integration unter dem Integralzeichen ist f ∈ C ∞ und in S im zweiten
Argument.
Für praktische Fälle werden wir immer f ∈ C0 ∞(Rn ) betrachten. Falls supp f ⊂
K R (0), so ist Rf(θ, s) = 0 für |s| > R, also insbesondere Rf(θ, s) ∈ C0
∞ im
zweiten Argument.
Zunächst zeigen wir, dass unsere funktionalanalytischen Vorbemerkungen tatsächlich
sinnvoll waren und nutzen sie, um den Projektionssatz zu beweisen:
Satz 4.2.18. (Projektionssatz, Fourier–Scheiben–Theorem, Fourier–Slice–Theorem)
Sei f ∈ S(R n ), θ ∈ S n−1 , s ∈ R. Dann gilt
̂Rf(θ, σ) = (2π) (n−1)/2 ̂f(σ · θ).
Hierbei ist die Fouriertransformation von Rf eine eindimensionale bezüglich
des zweiten Arguments, die Fouriertransformierte von f eine n–dimensionale.
Insbesondere ist die Radontransformation invertierbar.
Beweis: Rf ist in S bezüglich des zweiten Arguments. Insbesondere ist also
die linke Seite definiert, und wir erhalten durch Einsetzen der Definition
∫
̂Rf(θ, σ) = (2π) −1/2 (Rf)(θ, s)e −isσ ds
R
= (2π) −1/2 ∫
= (2π) −1/2 ∫
∫
R x·θ=s
R n
f(x)e −isσ dx ds
f(x)e −iσx·θ dx
= (2π) (n−1)/2 ̂f(σ · θ).
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