Skript

Damit gilt
Ĥf(ξ) = 1 ̂1
(2π)1/2
π · · ̂f = −isgn (ξ) ̂f(ξ).
Beispiel 4.2.16. (Fixpunkt der distributionellen Fouriertransformierten im R 2 )
Sei
f(x) = 1
||x|| ∈ L1 loc (R2 ).
Dann gilt
̂f(ξ) = 1 ∫
2π
1
||x|| e−ixξ dx
R 2
=
=
=
∫ ∞
0
1
||ξ||
1
||ξ||
J 0 (r||ξ||)dr
∫ ∞
0
J 0 (r)dr
Dieser Fixpunkt wird uns eine einfache Formel für die Inversion der Radontransformation
in zwei Dimensionen liefern.
Wir haben damit die Fouriertransformation von L 1 auf einen deutlich größeren
Definitionsraum erweitert. Stillschweigend werden wir im folgenden die eigentlich
streng nur für L 1 nachgewiesenen Sätze auch für diese erweiterte Definition
benutzen, die entsprechenden Beweise finden sich in der zu Beginn des
Kapitels angegebenen Literatur.
4.2.3 Radon–Transformation
Damit haben wir das funktionalanalytische Rüstzeug zusammen.
Definition 4.2.17. Sei C der unendlich lange Zylinder im R n+1 mit
C := {(θ, s) : θ ∈ S n−1 , s ∈ R}.
Sei f ∈ S(R n ), (θ, s) ∈ C. Dann ist die Radon–Transformation R : S(R n ) ↦→
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