Skript

keinen Sinn, den das hintere Integral existiert gar nicht. Approximiert man allerdings
die konstante Funktion durch eine Folge von charakteristischen Funktionen,
so erhält man (n=1):
1
2π
∫ n
−n
e ixξ dξ = n π sinc (nξ) ↦→ n↦→∞ δ.
Beispiel 4.2.15. (Cauchy–Hauptwert) Sei
∫ ∫
ϕ(x)
T (ϕ) = C dx = lim
x ɛ↦→0
|x|>ɛ
ϕ(x)
x
dx.
Offensichtlich ist 1/x nicht einmal in L 1 loc
, aber der Hauptwert existiert (schreibe
ϕ(x) = ϕ(0) + (ϕ(x) − ϕ(0)).
Wir berechnen die Fouriertransformierte als Grenzwert der Fouriertransformierten
von 1/x unter Ausschluss der 0, also
{
0, |x| ≤ ɛ
f ɛ (x) = 1
x , sonst .
Es gilt
also f ɛ ∈ L 2 \L 1 .
∫
R
∫ ∞
f ɛ (x) 2 1
dx = 2
x 2 dx = 2 ɛ < ∞,
̂f ɛ (ξ) = lim
N↦→∞ (2π)−1/2
= lim
N↦→∞ (2π)−1/2
= −√ i ∫N
2π
ɛ
ɛ
∫
ɛ