Skript

Um dennoch zu einer vernünftigen Definition der Fouriertransformierten zu kommen,
kam Laurent Schwartz auf die Idee, den Testfunktionenraum zu erweitern.
Wir erinnern uns zunächst, dass alle Ableitungen der Fouriertransformation einer
unendlich oft differenzierbaren Funktion mit kompaktem Träger schneller
fallen als der Kehrwert jedes Polynoms. Wenn wir also sicherstellen wollen,
dass die Fouriertransformierten der Funktionen aus C0
∞ im Testraum liegen,
sollten wir den Testraum auf genau diese Funktionen erweitern. Dies führt zur
Definition des Schwartzschen Raums:
Definition 4.2.12. Der Raum S der unendlich oft differenzierbaren Funktionen,
für die alle Ableitungen schneller gegen 0 gehen als jedes Polynom, also
S =
{f ∈ C ∞ (R n ) : |x α D β f| ≤ C(α, β)∀α, β ∈ N n}
heißt Schwartzscher Raum. Die Konvergenz auf S definieren wir durch
ϕ k ↦→ ϕ ⇐⇒ ||x α D β (ϕ k − ϕ)|| ∞ ↦→ 0∀α, β ∈ N n .
Der Raum S ′ der stetigen linearen Funktionale auf S heißt Raum der temperierten
Distributionen. Es gilt D ⊂ S, aber D ′ ⊄ S ′ .
Zu der Bemerkung betrachte zum Beispiel T f für f(x) = exp(x 2 /2), dann ist
T f ∈ D ′ (denn es ist in L 1 loc ), aber T f (exp(−x 2 /2)) ist nicht einmal definiert.
Definition 4.2.13. (distributionelle Fouriertransformierte)
Sei ϕ ∈ S. Dann ist auch ̂ϕ ∈ S, und wir definieren
̂T (ϕ) := T ( ̂ϕ), ˜T (ϕ) := T ( ˜ϕ).
Mit dieser Definition gilt natürlich insbesondere
˜̂T (ϕ) = ̂˜T (ϕ) = ϕ.
Beispiel 4.2.14.
und damit
̂δ(ϕ) = δ( ̂ϕ) = ϕ(0) = (2π) −n/2 ∫
̂δ = (2π) −n/2 = ˜δ.
R n
ϕ(x) dx
Auf den ersten Blick macht die klassische Inversionsformel
∫
δ(x) = (2π) −n/2 ̂δ(ξ)e ixξ dξ
= (2π) −n ∫
R n
R n
e ixξ dξ
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