Skript

Wir definieren also allgemein die Ableitung einer Distribution T durch
T ′ (ϕ) := −T (ϕ ′ ).
Insbesondere besitzt damit jede Funktion aus L 1 loc
eine Ableitung, die allerdings
nicht notwendig eine Funktion ist. Für die Signum–Funktion etwa
gilt
∫
R
sgn (x)ϕ ′ (x) dx =
und damit sgn ′ = 2δ.
∫ 0
−∞
−ϕ ′ (x) dx +
∫ ∞
0
ϕ ′ (x) dx = −2ϕ(0)
5. Sei g ∈ D und g x (y) = g(x − y). Wir definieren die Faltung einer Distribution
mit g. Für die Faltung sollte gelten
∫ ∫
(T f ∗g)(ϕ) = T f∗g (ϕ) = f(y)g(x−y) dyϕ(x) dx = T Tf (g x) ≡ T f (g x )
Ω R n
und wir definieren
Offensichtlich gilt
(T ∗ g)(x) := T (g x ).
(δ ∗ g)(x) = g(x).
Diese Bemerkung hat eine interessante Folgerung. Sei h z (y) = h(z + y),
f fest. Dann gilt
∫
L f (h z )(x) := (f∗h z )(x) = f(y)h(z+x−y) dy = (f∗h)(z+x) = L f (h)(z+x).
R n
Diese Eigenschaft heißt translationsinvariant: Verschiebt man die Funktion
h um z, so verschiebt sich L f ebenfalls um z. Translationsinvarianz
ist häufig in der Bildverarbeitung anzutreffen. Bei einer Kamera etwa würden
wir erwarten, dass sich das Bild nur verschiebt, wenn sich das Objekt
verschiebt, auch wenn es unscharf ist und noch eine Faltung dazwischenliegt.
Man zeigt leicht: Jede translationsinvariante Abbildung ist eine Faltung,
und nach der Bemerkung ist der Kern der Faltung gerade das Bild von δ.
6. Leider funktioniert dies schöne Konzept ausgerechnet für die Fouriertransformierte
nicht. Hier sollte gelten:
∫ ∫
(̂T f )(ϕ) = (T ̂f
)(ϕ) = ̂fϕ = f ̂ϕ = T f ( ̂ϕ)
und es liegt die Definition ̂T (ϕ) = T ( ̂ϕ) nahe. Leider sagt ein Satz der FA:
Falls ϕ ∈ C0 ∞ , so ist ̂ϕ = 0 oder ̂ϕ hat keinen kompakten Träger. Damit
ist die Definition unsinnig, denn T ist nur auf C0
∞ definiert.
50