Skript

Wir definieren den Konvergenzbegriff in D ′ als punktweise Konvergenz, also
Beispiel 4.2.11.
T n ↦→ T ⇐⇒ T n (ϕ) ↦→ T (ϕ)∀ϕ ∈ D(Ω).
1. Sei L 1 loc
(Ω) der Raum der messbaren Funktionen auf Ω, die für alle kompakten
Teilmengen K von Ω in L 1 (K) liegen.
Sei f ∈ L 1 loc . Dann ist ∫
T f (ϕ) :=
Ω
f(x)ϕ(x) dx
wohldefiniert. Es gilt T f ∈ D ′ , denn: Es gelte ϕ k ↦→ ϕ in D. Die Vereinigung
der Träger von ϕ k und ϕ muss in einer kompakten Menge K in Ω
enthalten sein, also ist die Konvergenz gleichmäßig, und es gilt
∫ ∫ ∫
T f (ϕ k ) = fϕ k = fϕ k = fϕ = T f (ϕ),
also ist T f stetig und liegt damit in D ′ .
Ω
K
Die zentrale Idee zur Erweiterung der Ableitungs– und Fouriertransformations–
Begriffe ist nun, T f mit f zu identifizieren.
2. Die bekannte Distribution ist die Dirac–Delta–Distribution
Sie ist stetiges Funktional, denn
δ(ϕ) = ϕ(0).
K
δ(ϕ n ) = ϕ n (0) ↦→ ϕ(0)
nach Definition der Topologie auf C ∞ 0 .
3. Sei M eine beliebige Mannigfaltigkeit im R n . Dann ist
∫
T M (ϕ) = ϕ(x)dσ(x)
eine Distribution.
M
4. Um die Ableitung einer Distribution sinnvoll zu definieren, sollte es egal
sein, ob man erst eine Funktion ableitet, und sie dann in den Distributionsraum
überträgt, oder erst in den Distributionsraum überträgt, und
dann ableitet. Für differenzierbares f sollte also gelten
∫
∫
(T f ) ′ (ϕ) = T f ′(ϕ) = f ′ (x)ϕ(x) dx = − f(x)ϕ ′ (x) dx = −T f (ϕ ′ ).
Ω
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Ω