Skript
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Kapitel 1 Einleitung In dieser Vorlesung behandeln wir analytische und numerische Aspekte von inversen bzw. schlecht gestellten inversen Problemen. Ein inverses Problem ist dabei immer invers im Bezug auf ein direktes Problem zu sehen. Dabei ist a priori nicht klar, welches der beiden Probleme das direkt und welches das inverse ist. In vielen Fällen ist direkte Problem jedoch physikalisch motiviert. Wie wir werden im Laufe der Vorlesung sehen werden hat das inverse Probleme ... schlechte Eigenschaften ... 1.1 Beispiel: Transportgleichung ??? Sei u(x, θ, t) die Anzahl von Teilchen im Punkt x zur Zeit t, die sich in Richtung θ bewegen. Abbildung 1.1: Blub 1 u(x + c∆t, t + ∆t) − u(x + c∆t, t) u(x, t) − u(x + c∆t, t) = c c∆t c∆t Für ∆t → 0 folgt 1 c u t = −u x 3
also Stationär: Beispiele: SAR, Streuung u t + cu x = 0 u x = 0 1.2 Beispiel: Differenzieren als inverses Problem In diesem Abschnitt folgen wir im wesentlichen der Präsentation aus [4, Kapitel 1.1]. Es mag überraschen aber das Ableiten einer Funktion ist ein klassisches Beispiel eines inversen Problems. Ableiten ist in diesem Zusammenhang invers Bezug zur Integration einer Funktion, dem direkten Problem. Betrachten wir zunächst folgendes Beispiel: Sei f ∈ C 1 ([0, 1]) und n ∈ N, n ≥ 2. Damit definieren wir die Funktion ( nx ) fn(x) δ := f(x) + δ sin , x ∈ [0, 1], (1.1) δ d.h. wir versehen f mit einer Sinusförmigen Störung mit Frequenz n. Offensichtlich gilt ‖f − f δ n‖ L ∞ ((0,1)) ≤ δ. Betrachten wir nun die Ableitung von fn δ gegeben durch ( nx ) (fn) δ ′ (x) = f ′ (x) + n cos , x ∈ [0, 1], δ so gilt jedoch ‖f ′ − (f δ n) ′ ‖ L ∞ ((0,1)) = n. Wir interpretieren dieses Ergebnis wie folgt: Egal, wie klein die Störung von f (also δ) ist, der Fehler beim Differenzieren beträgt immer n und kann damit beliebig groß werden. Mit anderen Worten: Bezüglich der L ∞ -Norm hängt die Ableitung (f δ n) ′ nicht stetig von den Daten (f δ n) ab. Dieses, für viele inverse Probleme charakteristische, Verhalten ist von großer Bedeutung für praktische Probleme jedweder Art, da gemessene Daten immer einen Fehler enthalten. Zum Vergleich betrachten wir nun die Situation in der C 1 -Norm: Wir erhalten ‖f − (f δ n)‖ C 1 ([0,1]) ≤ δ 2 . (1.2) Für die Differenzen der Ableitungen ergibt sich damit trivialerweise ‖f ′ − (f δ n) ′ ‖ L ∞ ((0,1)) = δ. 4
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also<br />
Stationär:<br />
Beispiele: SAR, Streuung<br />
u t + cu x = 0<br />
u x = 0<br />
1.2 Beispiel: Differenzieren als inverses Problem<br />
In diesem Abschnitt folgen wir im wesentlichen der Präsentation aus [4, Kapitel<br />
1.1].<br />
Es mag überraschen aber das Ableiten einer Funktion ist ein klassisches Beispiel<br />
eines inversen Problems. Ableiten ist in diesem Zusammenhang invers<br />
Bezug zur Integration einer Funktion, dem direkten Problem. Betrachten wir<br />
zunächst folgendes Beispiel: Sei f ∈ C 1 ([0, 1]) und n ∈ N, n ≥ 2. Damit definieren<br />
wir die Funktion<br />
( nx<br />
)<br />
fn(x) δ := f(x) + δ sin , x ∈ [0, 1], (1.1)<br />
δ<br />
d.h. wir versehen f mit einer Sinusförmigen Störung mit Frequenz n. Offensichtlich<br />
gilt<br />
‖f − f δ n‖ L ∞ ((0,1)) ≤ δ.<br />
Betrachten wir nun die Ableitung von fn δ gegeben durch<br />
( nx<br />
)<br />
(fn) δ ′ (x) = f ′ (x) + n cos , x ∈ [0, 1],<br />
δ<br />
so gilt jedoch<br />
‖f ′ − (f δ n) ′ ‖ L ∞ ((0,1)) = n.<br />
Wir interpretieren dieses Ergebnis wie folgt: Egal, wie klein die Störung von f<br />
(also δ) ist, der Fehler beim Differenzieren beträgt immer n und kann damit<br />
beliebig groß werden. Mit anderen Worten: Bezüglich der L ∞ -Norm hängt die<br />
Ableitung (f δ n) ′ nicht stetig von den Daten (f δ n) ab. Dieses, für viele inverse<br />
Probleme charakteristische, Verhalten ist von großer Bedeutung für praktische<br />
Probleme jedweder Art, da gemessene Daten immer einen Fehler enthalten.<br />
Zum Vergleich betrachten wir nun die Situation in der C 1 -Norm: Wir erhalten<br />
‖f − (f δ n)‖ C 1 ([0,1]) ≤ δ 2 . (1.2)<br />
Für die Differenzen der Ableitungen ergibt sich damit trivialerweise<br />
‖f ′ − (f δ n) ′ ‖ L ∞ ((0,1)) = δ.<br />
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