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Sei nun ϕ ∈ L 1 beliebig. Dann gilt ∫ ̂f(ξ)e ixξ ϕ(ξ)dξ = = = ∫ ∫ ∫ ̂f −x (ξ)ϕ(ξ)dξ f −x (ξ) ̂ϕ(ξ)dξ f(x − ξ) ̂ϕ(−ξ)dξ = (f ∗ ̂ϕ − )(x) Wir wählen nun ψ(ξ) := 1 √ 2π e −ξ2 /2 , also ̂ψ = ψ und |ψ| 1 = 1, und ϕ(ξ) = ψ(λξ). Damit gilt ̂ϕ(ξ) = 1 λ ̂ψ(ξ/λ) = 1 λ ψ(ξ/(λ)) =: ψ λ(ξ). Oben eingesetzt erhalten wir (2π) −n/2 ∫ ̂f(ξ)e ixξ e −λ2 ξ 2 /2 dξ = (f ∗ ψ λ )(x) Die linke Seite konvergiert (mit majorisierter Konvergenz) gegen die rechte Seite der Inversionsformel, die rechte Seite konvergiert nach Vorbemerkung fast überall gegen f. □ Satz 4.2.8. (Plancherel, Erweiterung der FT auf L 2 ) Es gibt einen (eindeutig) bestimmten Isomorphismus T : L 2 (R n ) ↦→ L 2 (R n ), so dass ||T f|| 2 = ||f|| 2 und T f = ̂f∀f ∈ L 1 (R n ) ∩ L 2 (R n ). Beweis: Forster, ([6]). Beweisidee: Sei K R (0) der Kreis um 0 mit Radius R. Sei f eine L 2 –Funktion. Dann ist f n = fχ Kn(0) eine Funktionenfolge in L 1 ∩ L 2 , die bzgl. L 2 gegen f konvergiert. Man zeigt nun, dass ̂f n bzgl. L 2 konvergiert und definiert den Grenzwert als die Fouriertransformierte von f. □ Beispiel 4.2.9. Sei n = 2, f(x) = g(|x|). Für g(|x|) = 1 1+|x| 2 gilt f ∈ L 2 (R 2 ), 47
aber f ∉ L 2 (R 2 ). Die Fouriertransformierte von f n ist ∫ ̂f n (ξ) = (2π) −1 e −ixξ f(x) dx und damit |x|
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Seite 99 und 100:
Literaturverzeichnis [1] Ȧ. Björc
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