Skript

Sei nun ϕ ∈ L 1 beliebig. Dann gilt
∫
̂f(ξ)e ixξ ϕ(ξ)dξ =
=
=
∫
∫
∫
̂f −x (ξ)ϕ(ξ)dξ
f −x (ξ) ̂ϕ(ξ)dξ
f(x − ξ) ̂ϕ(−ξ)dξ
= (f ∗ ̂ϕ − )(x)
Wir wählen nun ψ(ξ) := 1 √
2π
e −ξ2 /2 , also ̂ψ = ψ und |ψ| 1 = 1, und ϕ(ξ) =
ψ(λξ). Damit gilt
̂ϕ(ξ) = 1 λ ̂ψ(ξ/λ) = 1 λ ψ(ξ/(λ)) =: ψ λ(ξ).
Oben eingesetzt erhalten wir
(2π) −n/2 ∫
̂f(ξ)e ixξ e −λ2 ξ 2 /2 dξ = (f ∗ ψ λ )(x)
Die linke Seite konvergiert (mit majorisierter Konvergenz) gegen die rechte Seite
der Inversionsformel, die rechte Seite konvergiert nach Vorbemerkung fast
überall gegen f.
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Satz 4.2.8. (Plancherel, Erweiterung der FT auf L 2 )
Es gibt einen (eindeutig) bestimmten Isomorphismus
T : L 2 (R n ) ↦→ L 2 (R n ),
so dass ||T f|| 2 = ||f|| 2 und T f = ̂f∀f ∈ L 1 (R n ) ∩ L 2 (R n ).
Beweis: Forster, ([6]). Beweisidee: Sei K R (0) der Kreis um 0 mit Radius R. Sei
f eine L 2 –Funktion. Dann ist f n = fχ Kn(0) eine Funktionenfolge in L 1 ∩ L 2 ,
die bzgl. L 2 gegen f konvergiert. Man zeigt nun, dass ̂f n bzgl. L 2 konvergiert
und definiert den Grenzwert als die Fouriertransformierte von f.
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Beispiel 4.2.9. Sei n = 2, f(x) = g(|x|). Für g(|x|) = 1
1+|x| 2 gilt f ∈ L 2 (R 2 ),
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