Skript

Satz 4.2.5. (Faltungssatz) Seien f, g ∈ L 1 (R n ). Dann gilt
̂ (f ∗ g)(ξ) = (2π) n/2 ̂f(ξ)ĝ(ξ).
Beweis: Nach Definition gilt
̂f ∗ g(ξ) = (2π) −n/2 ∫
e −ixξ ∫
f(x − y)g(y) dy dx
R n
= (2π) −n/2 ∫
= (2π) n/2 ĝ(ξ) ̂f(ξ)
R n
g(y)e −iyξ ∫
R
R n
f(x − y)e −i(x−y)ξ dx dy
Beispiel 4.2.6. Sei f = χ [−1,1] .
und damit
(f ∗ f)(x) =
∫ 1
−1
{
f(x − y)f(y) dy =
̂f ∗ f(ξ) = (2π) 1/2 ̂f(ξ)
2
= (2π) 1/2 2 (sinc ξ)2
π
= 2√
2
π (sinc ξ)2 .
0, |x| > 2
2 − |x|, |x| ≤ 2
□
Satz 4.2.7. (Fourier-Inversionsformel) Seien f, ̂f ∈ L 1 (R n ). Dann gilt fast überall
∫
f(x) = (2π) −n/2 ̂f(ξ)e ixξ dξ.
Beweis: Nur die Beweisidee auf R, für den genauen Beweis siehe [6].
Sei zunächst ψ ∈ L 1 (R) beliebig mit
∫
ψ(x) dx = 1.
Wir definieren
R
R n
ψ λ (x) := 1 λ ψ(x/λ).
Für λ ↦→ 0 ziehen sich diese Funktionen auf dem Nullpunkt zusammen, wir erwarten
also, dass (f ∗ψ λ )(x) für λ ↦→ 0 nur noch von f(x) abhängt. Tatsächlich
konvergiert f ∗ ψ λ bzgl. L 1 gegen f, es gilt also
||f ∗ ψ λ − f|| 1 ↦→ λ↦→0 0.
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