Skript

Dann gilt
̂D α f(ξ) = i |α| ξ α ̂f(ξ).
8. Seien f, g ∈ L 1 , also auch ̂fg und fĝ (denn ̂f und ĝ sind beschränkt).
∫
∫ ∫
̂f(ξ)g(ξ) dξ = (2π)
−n/2
e −ixξ f(x) dxg(ξ) dξ
R n R n R
∫
n
∫
= (2π) −n/2 f(x) e −ixξ g(ξ) dξ dx
=
∫
R n
f(x)ĝ(x) dx
R n
R n
(Parsevalsche Gleichung für L 1 ).
9. Sei f ∈ C k 0 (Rn ) und |α| ≤ k. Wegen
gilt
̂f(ξ) = 1
i |α| ξ α ̂D α f(ξ)
| ̂f(ξ)| ≤ C(α)|ξ −α |,
und damit fallen insbesondere die Fouriertransformationen unendlich oft
differenzierbarer Funktionen schneller als die Kehrwerte jeder Potenz von
ξ. Bei der Umkehrung der Integration wurde der Satz von Fubini benutzt.
Bemerkung: Für Fouriertransformierte von differenzierbaren Funktionen
mit nicht kompaktem Träger gilt der Satz im Allgemeinen ebenfalls, allerdings
muss dann vorher die Existenz der jeweiligen Integrale sichergestellt
werden.
Definition 4.2.4. (Faltung) Seien f, g ∈ L 1 (R n ). Dann ist die Faltung von f und
g definiert durch
∫
f(x − y)g(y) dy.
Bemerkung:
1.
2.
R n
||f ∗ g|| 1 =
≤
f ∗ g = g ∗ f.
∣ ∫ ∣∣∣∣∣ ∫
f(x − y)g(y) dy
∣ dx
R n R
∫ ∫
n
|f(x − y)||g(y)| dy dx
R n R n
≤ ||f|| 1 ||g|| 1
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