Skript

̂f a (ξ) = (2π) −n/2 ∫
R n
= (2π) −n/2 ∫
f(x − a)e −ixξ dx
f(x)e −i(x+a)ξ dx
R n
= e −iξa ̂f(ξ).
6. Sei χ A die charakteristische Funktion der Menge A. Dann gilt
∫1
̂χ [−1,1] (ξ) = (2π) −1/2
−1
= (2π) −1/2 1
−iξ
e −ixξ dx
[e −ixξ] 1
= (2π) −1/2 2 eixξ − e −ixξ
=
√
2
π · sin ξ
ξ
2i
−1
· 1
ξ
=
√
2
π sinc ξ
mit der Definition
sinc (ξ) = sin ξ , sinc (0) = 1.
ξ
Die Sinc–Funktion ist die wichtigste Funktion in der Signalverarbeitung.
Achtung: Die sinc–Funktion ist nicht in L 1 , insbesondere ist also die Fouriertransformation
keine Abbildung von L 1 nach L 1 .
TODO Grafik Sinc
7. (Fouriertransformierte der Ableitung) Sei f zusätzlich differenzierbar mit
kompaktem Träger.
∫
̂f ′ (ξ) = (2π) −1/2 f ′ (x)e −ixξ dx
i=1
R
= iξ(2π) −1/2 ∫
= (iξ) ̂f(ξ)
R
f(x)e −ixξ dx
Sei α ein Multiindex in N n und wie üblich
n∑
|α| = α i , D α ∂ |α|
n∏
f =
∂ α f, x α = x α i
1 x1 · · · ∂ αn i
.
x n
44
i=1