Skript

Zur Vertauschung von Integration und Konvergenz haben wir den Satz
von der majorisierten Konvergenz angewendet, diesen werden wir im Folgenden
häufig ebenso stillschweigend verwenden wie den Satz von Fubini.
3. Zur Herleitung der Fourier–Inversionsformel benötigen wir einige Rechenregeln
und das folgende Beispiel: Die Fouriertransformierte von f(x) =
e −x2 /2 auf R. Es gilt
∫
̂f(ξ) = (2π) −1/2 e −x2 /2 e −ixξ dx
R
∫
= (2π) −1/2 e −ξ2 /2
R
e (−x+iξ)2 /2 dx
f(z) ist eine holomorphe Funktion auf C, also verschwinden komplexe
Wegintegrale über geschlossene Pfade (hier verwenden wir ausnahmsweise
einmal nicht die Lebesgue–Integration!). Wir verwenden für ein beliebiges
a > 0 den Pfad (a : a + iξ : a − iξ : −a : a) und erhalten
∫ a
−a
e −(x+iξ)2 /2 dx =
∫ a
−a
∫ ξ
e −x2 /2 dx +
0
e −(a+it)2 /2
} {{ }
|·|=e (t2 −a 2 )/2 ≤e (ξ2 −a 2 )/2
−e −(−a+it)2 /2 dt
Das zweite Integral verschwindet für a ↦→ ∞, das erste Integral konvergiert
gegen (2π) 1/2 , also erhalten wir insgesamt
̂f(ξ) = f(ξ) = e −ξ2 /2 .
4. Sei
Dann gilt
f λ (x) = f(λx).
̂f λ (ξ) = (2π) −n/2 ∫
f(λx)e −ixξ dx
R n
= (2π) −n/2 |λ| −n ∫
f(x)e −ixξ/λ dx
= |λ| −n ̂f(ξ/λ).
R n
5. Sei
f a (x) = f(x − a).
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