Skript

4.2 Funktionalanalytische Grundlagen und Radontransformation
Wir werden uns zunächst einige Grundlagen erarbeiten bzw. ins Gedächtnis rufen.
Diese Sätze und Definitionen sind Teile anderer Vorlesungen wie FA oder
Analysis III. Bei den Beweisen werden wir daher häufig nur einfache Fälle betrachten.
Die Radontransformation wird umfangreich studiert im Buch von Helgason
([10]), die zugehörigen Algorithmen zur Inversion werden mathematisch
untersucht in Natterer ([14]).
4.2.1 Fourier–Analyse
Alle Sätze und Definitionen werden genau so im Forster ([6]) behandelt.
Definition 4.2.1. (L p -Räume) Die L p –räume als Unterräume der (reellen oder
komplexen) messbaren Funktionen auf dem R n sind definiert durch
⎧ ⎛ ⎞ ⎫
1/p
⎪⎨
∫
⎪⎬
L p (R n ) =
⎪⎩ f : ||f|| p = ⎝ |f| p dx⎠
< ∞
⎪⎭
bzw.
L ∞ (R n ) = {f : ∃C ≥ 0 : |f| ≤ C f.ü.} , ||f|| ∞ = inf C . . .
Definition 4.2.2. (Fouriertransformierte im R n ) Sei f ∈ L 1 (R n ). Dann ist
∫
̂f(ξ) := (2π) −n/2 f(x)e −ix·ξ dx
wohldefiniert und heißt Fouriertransformierte von f. Der Vorfaktor wird in den
unterschiedlichen Quellen auch anders definiert (nämlich weggelassen oder
mit dem Exponenten n).
Beispiel 4.2.3. Im Folgenden sei immer f ∈ L 1 (R n ).
1.
R n
| ̂f(ξ)| ≤ (2π) −n/2 ∫
2. Die Fouriertransformierte ist stetig.
R n
R n
∫
lim ̂f(ξ) = (2π) −n/2 lim
ξ↦→ξ 0 ξ↦→ξ0
= (2π) −n/2 ∫
|f(x)| dx = (2π) −n/2
R n
f(x)e −ixξ dx
f(x)e −ixξ 0
dx
= ̂f(ξ 0 )
R n
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