Skript

Als Ansatzfunktionen ψ wählen wir einfach die charakteristischen Funktionen
von Pixeln im Einheitsquadrat, damit ist Rψ ij (θ(ϕ k ), s l ) einfach nur die Länge
des Schnitts der Linie L(θ(ϕ k ), s l ) mit dem Pixel (i, j). (Bemerkung: Hier könnten
wir natürlich auch andere Funktionen wählen, eine beliebte Wahl sind etwa
Gaussglocken.)
Regularisierte Lösungen dieses endlichdimensionalen linearen Systems wollen
wir mit Hilfe der Singulärwertzerlegung berechnen. Hierzu ist zunächst die
diskrete Singulärwertzerlegung der Matrix A zu berechnen, die im allgemeinen
sehr groß ist (typische Werte sind N = 1024, p = 1024, q = 512). Diese Rechnung
ist, obwohl die Matrix A dünn besetzt ist, sehr aufwändig, eine Übersicht
über die Methoden (i.a. Reduktion auf Hessenbergform, Berechnung der Singulärwerte
mit dem QR–Algorithmus) haben Sie in der Vorlesung Numerische
lineare Algebra kennengelernt.
Sei nun also
A = UΣV t
die übliche Singulärwertzerlegung von A. Aus dem letzten Kapitel wissen wir,
dass die Anteile der Lösung an Singulärvektoren mit großem Singulärwert gut,
die Anteile der Lösung an Singulärvektoren mit kleinem Singulärwert schlecht
bestimmt sind. Wir werfen also zunächst einmal einen Blick auf die Singulärvektoren
und stellen fest: Je höher oszillierend ein Singulärvektor ist, umso
schlechter ist er bestimmt. Niederfrequente Anteile von f (d.h. grobe Details)
sind also gut, hochfrequente Anteile (d.h. kleine Details) sind also schlecht
bestimmt. Dies ist gut, und entspricht dem, was wir erwarten: Falls wir die Singulärwertzerlegung
abschneiden, weil unsere Messungen schlecht sind, also
nur wenige Vektoren nutzen, so bekommen wir einen groben Eindruck des Bildes,
je mehr wir dazunehmen, desto besser kommen die Details heraus, aber
auch umso verrauschter werden unsere Bilder.
BILDER
Die Matlab–Programme sind beigefügt. Achtung: Die Berechnung der SVD verschlingt
einige Stunden CPU–Zeit.
Die abgeschnittene SVD verdeutlichen wir mit Hilfe des Shepp–Logan–Phantoms.
Bei wenigen Singulärwerten ist das Bild nur grob aufgelöst, detailreich für mehr
Singulärwerte, verrauscht für zu viele Singulärwerte. Dem betragsmäßigen Verlauf
der Singulärwerte entnehmen wir, dass es einen sehr eindeutigen Punkt
gibt, an dem die Reihe abgeschnitten werden sollte, diesen (er entspricht einer
bestimmten Auflösung des Bildes) werden wir später exakt bestimmen.
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