Skript

en definiert durch
L(ϕ, s) =
{
}
sθ(ϕ) + tθ ⊥ (ϕ) : t ∈ R = {x : x · θ(ϕ) = s} .
θ ⊥ (ϕ)
y
sθ(ϕ)
ϕ
x
Parametrisierung von Linien im R 2
In zwei Dimensionen definieren wir dann die Radon–Transformation zunächst
sehr informell (korrekt werden wir das im nächsten Kapitel tun) durch
∫
(Rf)(θ(ϕ), s) = f(x)dσ(x). (4.1)
L(ϕ,s)
für stetige Funktionen f mit Träger im Einheitskreis.
Zur Integration: Im ganzen Kapitel verwenden wir durchgehend, falls nichts anderes
gesagt ist, Lebesgue–Integrale. Das verwendete Maß für Linienintegrale
im R 2 ist natürlich das Oberflächenmaß (bezüglich des üblichen euklidischen
Maßes im R 2 ist eine Linie eine Menge mit Maß 0!), daher das σ(x). In allen
Fällen, in denen aber das Maß klar ist (so wie hier), werden wir einfach nur f dx
statt dσ(x) verwenden.
Wir wollen nun aus den Messungen von g(ϕ, s) = (Rf)(θ(ϕ), s) die Funktion
f rekonstruieren. Wir werden zeigen, dass diese Aufgabe schlecht gestellt
ist, wir müssen also regularisieren. Wir wollen hier die Methoden der Singulärwertzerlegung
verwenden. Hierzu sind die Singulärwerte und –vektoren der
Radon–Transformation als Abbildung zwischen zwei Hilberträumen zu bestimmen.
Dies ist tatsächlich machbar, siehe z.B. [13]. Wir wollen uns auf diese
umfangreiche Rechnung aber nicht einlassen und begnügen uns mit einer einfachen
Diskretisierung, die, wenn sie fein genug ist, tatsächlich vergleichbare
Ergebnisse liefert.. Hierzu nehmen wir an, dass g kl = g(ϕ k , s l ) für einige
Winkel ϕ k , k = 0 . . . p − 1, sowie jeweils für feste s l , l = −q . . . q, gemessen
wurde. Bei festem k werden also mehrere parallele Messungen senkrecht
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